Para carda uma dos seguintes campos encontre a divergência e, em caso tridimensional, o rotacional:
F(x, y, z)=x^2 i+x z j+k;

Passo 1

O enunciado pede para o campo vetorial tridimensional
F(x,y,z)=x^2,i+x,z,j+k
calcular a divergência e o rotacional. Vamos usar as definições de cálculo vetorial:
– Divergência: nablacdot F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z.
– Rotacional:
nablatimes F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z F1 & F2 & F3

Passo 2

Identificamos as componentes:
F1(x,y,z)=x^2, F2(x,y,z)=x,z, F3(x,y,z)=1
Para a divergência, precisamos das derivadas parciais partial F1/partial x,;partial F2/partial y,;partial F3/partial z.

Passo 3

Calculando a divergência:
partial F1partial x =partialpartial x(x^2)=2x, partial F2partial y =partialpartial y(x,z)=0, partial F3partial z =partialpartial z(1)=0
Logo,
nablacdot F =2x+0+0 =2x

Passo 4

Agora o rotacional, usando o determinante:
nablatimes F =il(partial F3partial y-partial F2partial zr) -jl(partial F3partial x-partial F1partial zr) +kl(partial F2partial x-partial F1partial yr)
Calculando cada termo:
partial F3partial y-partial F2partial z =0-partialpartial z(x,z) =0-x=-x,
partial F3partial x-partial F1partial z =0-0=0,
partial F2partial x-partial F1partial y =partialpartial x(x,z)-0 =z
Portanto,
nablatimes F=-x,i+0,j+z,k

Resposta

Divergência: nablacdot F=2x
Rotacional: nablatimes F=-x,i+0,j+z,k

Exercícios relacionados