Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para representar por série de potências a função centrada em zero e determinar o raio de convergência. Vamos usar a expansão conhecida de .
Passo 2
A série de Taylor de em torno de zero, válida para , é
Passo 3
Multiplicando termo a termo por , obtemos a série de potências de :
Passo 4
Para achar o raio de convergência, usamos o teste da razão sobre os coeficientes de :
Para convergência é preciso |x|^2<1, ou seja, |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.