1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. x arctg x

Passo 1

O enunciado pede para representar por série de potências a função f(x)=xarctan x centrada em zero e determinar o raio de convergência. Vamos usar a expansão conhecida de arctan x.

Passo 2

A série de Taylor de arctan x em torno de zero, válida para |x|<1, é
arctan x ;=;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12n+1

Passo 3

Multiplicando termo a termo por x, obtemos a série de potências de xarctan x:
xarctan x ;=;x;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12n+1 ;=;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+22n+1

Passo 4

Para achar o raio de convergência, usamos o teste da razão sobre os coeficientes an = (-1)^n/(2n+1) de x^2n+2:
limntoinfty |an+1,x^2(n+1)+2an,x^2n+2| =limntoinfty|x|^22n+12n+3 =|x|^2
Para convergência é preciso |x|^2<1, ou seja, |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Resposta

xarctan x = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+22n+1, R = 1

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