1. Para a série de potências sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+ldots, faça o que se pede nos itens abaixo:
  2. Qual a função que já foi vista que satisfaz os itens (2) e (3)?

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumk=0^infty(-1)^k,x^2k(2k)! =1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots
e nos lembra que, nos itens (2) e (3), já se mostrou que a soma dessa série satisfaz a equação diferencial
y'' + y = 0
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Precisamos agora reconhecer qual função vista antes resolve esse problema.

Passo 2

Lembramos que a expansão de Taylor (Maclaurin) da função cosseno é
cos(x) = sumk=0^infty(-1)^k,x^2k(2k)! = 1 - x^22! + x^44! - cdots
logo a nossa série coincide exatamente com cos(x).

Passo 3

Verificamos que cos(x) satisfaz
d^2dx^2cos(x) + cos(x) = -cos(x) + cos(x) = 0,
e ainda
cos(0)=1 e ddxcos(x)|x=0 = -sin(0)=0. São exatamente as condições dos itens (2) e (3).

Resposta

A função é
f(x) = cos(x)

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