1. Para a série de potências sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+ldots, faça o que se pede nos itens abaixo:
  2. Use o teste da razão para mostrar que a série converge absolutamente para todo x.

Passo 1

A série dada é sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!. Queremos mostrar que ela converge absolutamente para todo x usando o teste da razão, que exige calcular limktoinfty|ak+1ak| para ak sendo os termos da série absoluta.

Passo 2

Definimos os termos da série original como ak=(-1)^kx^2k(2k)!. Então a série absoluta tem termos |ak|=|x|^2k(2k)!. Pelo teste da razão, se
L=limktoinfty|ak+1ak|<1
então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
|ak+1ak|=|x|^2(k+1)/(2(k+1))!|x|^2k/(2k)! =|x|^2(2k+2)(2k+1)

Passo 4

Agora avaliamos o limite dessa expressão quando ktoinfty:
limktoinfty|x|^2(2k+2)(2k+1)=0
Como 0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente para qualquer valor de x.

Resposta

A série converge absolutamente para todo x, pois o limite da razão é 0<1.

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