Encontre uma solução geral para a equação dada: y^prime prime-y^prime+7 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + 7y = 0
Para resolver, usamos a ansatz y=e^rx, reduzindo o problema à equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^rx em y'' - y' + 7y = 0 obtemos
r^2 e^rx - r e^rx + 7 e^rx = 0
e, como e^rxneq0, a equação característica é
r^2 - r + 7 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r = 1 pm raiz1 - 282 = 1 pm raiz-272 = 12 pm 3raiz32i
Logo, as raízes são complexas conjugadas r = alpha pm ibeta com alpha = tfrac12 e beta = tfrac3raiz32.

Passo 4

Para raízes complexas r = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta dados, temos a forma final da solução.

Resposta

y(x) = e^tfracx2l(C1cosl(tfrac3raiz32xr) + C2sinl(tfrac3raiz32xr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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