O cardume de atum do Pacífico foi modelado pela equação diferencial
dPdt=k P(1-PM)
sendo P é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no instante t (medido em anos), a capacidade de suporte é estimada como M=8 times 10^7 kg.
Se P(0)=2 times 10^7 kg, calcule a biomassa um ano depois.

Passo 1

O enunciado dá a equação logística
dPdt = k,Pl(1 - PMr)
com M = 8times10^7,kg e condição inicial P(0)=2times10^7,kg. Vamos resolver para P(t) à custa de separar variáveis e integrar, e então avaliar em t=1.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dPPl(1 - tfracPMr) = k,dt
O lado esquerdo se integra usando frações parciais.

Passo 3

Para integrar
integral dPPl(1 - tfracPMr)
escrevemos
1Pl(1 - tfracPMr) = 1P + 1M - P,
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integraldPPl(1 - tfracPMr) = integrall(1P + 1M - Pr),dP = ln|P| - ln|M - P| + C
Assim a integral completa é
lnPM-P = k,t + C

Passo 4

Impondo P(0)=2times10^7, em t=0:
ln2times10^78times10^7 - 2times10^7 = ln2times10^76times10^7 = ln13 = C
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lnPM-P = k,t + ln13 Longrightarrow PM-P = 13e^k,t
Daí
P(t) = (M-P),13e^k,t ;Longrightarrow; P(t)l(1 + tfrac13e^k,tr) = tfracM3e^k,t
e isolando P(t):
P(t)=M1 + 3e^-k,t

Passo 5

Bastará agora pôr t=1 e M=8times10^7:
P(1) = 8times10^71 + 3e^-k

Resposta

P(1)=8times10^71 + 3e^-k kg

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