Uma população cresce de acordo com a equação logística dada, na qual t é medido em semanas,
dPdt=0,04 P(1-P4200)
para a condição inicial P(0)=60.
Qual é a população depois de 10 semanas?

Passo 1

O enunciado dá a equação logística
dPdt=0,04,Pl(1-P4200r),
com condição inicial P(0)=60, e pede P(10).
Conteúdo: crescimento logístico. Vamos usar separação de variáveis e frações parciais para obter a solução geral e depois aplicar t=10.

Passo 2

Separemos variáveis escrevendo
dPPl(1-P/4200r)=0,04,dt
Note que
Pl(1-tfracP4200r)=P,(4200-P)4200 Longrightarrow 1P(1-P/4200)=4200P(4200-P)

Passo 3

Usamos frações parciais em
integral4200P(4200-P),dP =integrall(1P+14200-Pr),dP
Integrando,
integraldPP+integraldP4200-P =ln|P|-ln|4200-P| + C
Então a separação dá
lnP4200-P=0,04,t + C

Passo 4

Exponentiando,
P4200-P=C1 e^0,04t,
onde C1=e^C. Isolando P,
P(t)=4200,C1 e^0,04t1 + C1 e^0,04t =42001 + C1^-1e^-0,04t

Passo 5

Aplicamos P(0)=60:
604200-60=C1 Longrightarrow C1=604140=169
Logo
P(t)=42001 + 69,e^-0,04t

Passo 6

Para t=10:
P(10) =42001 + 69,e^-0,4 approx42001 + 69cdot0,6703 =420047,249 approx88,9

Resposta

A população após 10 semanas é
P(10)=42001 + 69,e^-0,4approx88,9

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