Suponha que uma população cresça de acordo com o modelo logístico com população inicial de 1.000 e capacidade de suporte 10.000 . Se a população crescer para 2.500 após um ano, como será a população após outros três anos?

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento logístico de uma população P(t) com capacidade de suporte K=10,000 e população inicial P(0)=1,000. Após um ano temos P(1)=2,500. Queremos achar P(4), ou seja, a população após mais três anos.

Passo 2

A solução geral da equação logística
dPdt=r,Pl(1-PKr)
é dada por
P(t) = K1+A,e^-r,t,
onde A é uma constante relacionada a P(0). Usando t=0:
P(0)=K1+A=P0 Longrightarrow A=KP0-1

Passo 3

Aqui P0=1,000 e K=10,000, então
A=10,0001,000-1=9
Como P(1)=2,500, substituímos em t=1:
2,500 = 10,0001+9,e^-r Longrightarrow 1+9,e^-r=4 Longrightarrow 9,e^-r=3 Longrightarrow e^-r=tfrac13 Longrightarrow r=ln 3

Passo 4

Para t=4 temos
P(4) = 10,0001+9,e^-4r = 10,0001+9,e^-4ln3 = 10,0001+tfrac93^4 = 10,0001+tfrac981 = 10,000tfrac109 = 9,000

Resposta

A população após mais três anos será de 9,000 indivíduos.

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