Uma carga de +3,00 mC e uma carga de -4,00 mC são fixadas em posição e separadas por 5,00 m.
a) Onde uma carga de +7,00 mC poderia ser colocada de modo que a força resultante sobre ela fosse zero?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas fixas: uma de $ +3,00 , mC $ e outra de $ -4,00 , mC $, separadas por $ 5,00 , m $. Queremos descobrir onde colocar uma terceira carga de $ +7,00 , mC $ de modo que a força total sobre ela seja zero. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Coulomb:
F = ke |q1 q2|r^2
Onde:
  • $ F $ é a força entre as cargas,
  • $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $),
  • $ q_1 $ e $ q_2 $ são as magnitudes das cargas,
  • $ r $ é a distância entre as cargas.
Queremos que a força resultante sobre a carga de $ +7,00 , mC $ seja zero. Isso significa que a força exercida pela carga $ +3,00 , mC $ deve ser igual e oposta à força exercida pela carga $ -4,00 , mC $.

Passo 3

Vamos chamar a posição onde colocaremos a carga de $ +7,00 , mC $ de $ x $ metros em relação à carga $ +3,00 , mC $. Assim, a distância até a carga $ -4,00 , mC $ será $ (5 - x) $ metros.
A força exercida pela carga $ +3,00 , mC $ sobre a $ +7,00 , mC $ será repulsiva (ambas positivas), enquanto a força exercida pela carga $ -4,00 , mC $ será atrativa (cargas de sinais opostos).

Passo 4

Para que a força resultante seja zero:
F+3 = F-4
Aplicando a Lei de Coulomb:
ke (3 times 10^-3)(7 times 10^-3)x^2 = ke (4 times 10^-3)(7 times 10^-3)(5 - x)^2
Podemos simplificar $ k_e $ e $ 7 \times 10^{-3} $ de ambos os lados:
ke

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 (5 - x)^2 $:
3x^2 = 4(5 - x)^2
Expandindo $ (5 - x)^2 $:
x^2 (5 - x)^2
Distribuindo o 3:
3 (5 - x)^2 = 4 x^2
Movendo todos os termos para um lado da equação:
(5 - x)^2
Simplificando:
3 (25 - 10x + x^2) = 4x^2
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
75 - 30x + 3x^2 = 4x^2

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática:
x^2 + 30x - 75 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = 30 $ e $ c = -75 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
a = 1
Agora, calculando as raízes:
b = 30
Isso nos dá duas soluções:
c = -75
De

Resposta

A carga de $ +7,00 , mC $ deve ser colocada a aproximadamente $ 2,32 , m $ à direita da carga de $ +3,00 , mC $ para que a força resultante sobre ela seja zero.

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