Uma carga de +3,00 mC e uma carga de -4,00 mC são fixadas em posição e separadas por 5,00 m.
a) Onde uma carga de
poderia ser colocada de modo que a força resultante sobre ela fosse zero?
a) Onde uma carga de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas fixas: uma de $ +3,00 , mC $ e outra de $ -4,00 , mC $, separadas por $ 5,00 , m $. Queremos descobrir onde colocar uma terceira carga de $ +7,00 , mC $ de modo que a força total sobre ela seja zero. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Coulomb:
Onde:
- $ F $ é a força entre as cargas,
- $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $),
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as magnitudes das cargas,
- $ r $ é a distância entre as cargas.
Queremos que a força resultante sobre a carga de $ +7,00 , mC $ seja zero. Isso significa que a força exercida pela carga $ +3,00 , mC $ deve ser igual e oposta à força exercida pela carga $ -4,00 , mC $.
Passo 3
Vamos chamar a posição onde colocaremos a carga de $ +7,00 , mC $ de $ x $ metros em relação à carga $ +3,00 , mC $. Assim, a distância até a carga $ -4,00 , mC $ será $ (5 - x) $ metros.
A força exercida pela carga $ +3,00 , mC $ sobre a $ +7,00 , mC $ será repulsiva (ambas positivas), enquanto a força exercida pela carga $ -4,00 , mC $ será atrativa (cargas de sinais opostos).
Passo 4
Para que a força resultante seja zero:
Aplicando a Lei de Coulomb:
Podemos simplificar $ k_e $ e $ 7 \times 10^{-3} $ de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ x $:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 (5 - x)^2 $:
Expandindo $ (5 - x)^2 $:
Distribuindo o 3:
Movendo todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 30 $ e $ c = -75 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Agora, calculando as raízes:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
A carga de $ +7,00 , mC $ deve ser colocada a aproximadamente $ 2,32 , m $ à direita da carga de $ +3,00 , mC $ para que a força resultante sobre ela seja zero.