Carga de Capacitor: A tensão no tempo é
V(t)=V_{\max }\left(1-e^{-t / \tau}\right)
Se V_{\text {max }}=5 \mathrm{~V} e \tau=1 \mathrm{~s}, calcule V(0) e esboce o comportamento gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão no capacitor no tempo por
V(t)=V_{\max}\left(1-e^{-t/\tau}\right),
com os valores numéricos fornecidos:
  • \,V_{\max}=5\\ \mathrm{V},
  • \,\tau=1\\ \mathrm{s}.
O que é pedido:
  • Calcular V(0) (a tensão no instante t=0).
  • Esboçar o comportamento gráfico de V(t) ao longo do tempo (dizer como desenhar o gráfico, pontos importantes, forma geral).

Passo 2

Entendendo a expressão no instante t=0.
A função contém o termo exponencial e^{-t/\tau}. Vamos avaliar esse termo em t=0:
e^{-t/\tau}\Big|_{t=0}=e^{0}=1.
Substituir isso na fórmula dá a tensão inicial. Isso é só avaliar a função no ponto t=0, operação direta que sempre fazemos em prova: trocar t por 0 e simplificar.

Passo 3

Cálculo direto de V(0). Substituindo t=0, V_{\max}=5 e usando e^{0}=1:
V(0)=5\left(1-e^{0}\right)=5\left(1-1\right)=5\cdot 0=0\\ \mathrm{V}.
Ou seja, a tensão inicial é 0\\ \mathrm{V}. Isso faz sentido físico: no instante inicial, ao começar a carga, o capacitor não tem carga (situação típica em RC).

Passo 4

Interpretação física e significado da constante de tempo \tau.
A constante de tempo \tau mede quão rápido o capacitor se carrega. Para a lei
V(t)=V_{\max}\left(1-e^{-t/\tau}\right),
vale que, no instante t=\tau,
V(\tau)=V_{\max}\left(1-e^{-1}\right)\approx V_{\max}\cdot 0{,}63212.
Com V_{\max}=5\\ \mathrm{V} e \tau=1\\ \mathrm{s},
V(1)=5\left(1-e^{-1}\right)\approx 5\cdot 0{,}63212\approx 3{,}1606\\ \mathrm{V}.
Regra prática: após 1\tau o capacitor alcança ~63,2% do valor final; após 2\tau alcança ~86,5%; após 3\tau ~95,0%; e assim por diante.

Passo 5

Tabela com alguns pontos úteis para esboçar o gráfico (calculei pegando valores conhecidos de e^{-x}):
  • t=0: V(0)=0\\ \mathrm{V} (já calculado).
  • t=0{,}5\\ \mathrm{s}: V(0{,}5)=5(1-e^{-0{,}5}). Como e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653, V(0{,}5)\approx 5(1-0{,}60653)=5\cdot 0{,}39347\approx 1{,}967\\ \mathrm{V}.
  • t=1\\ \mathrm{s}: V(1)\approx 3{,}161\\ \mathrm{V} (já calculado).
  • t=2\\ \mathrm{s}: V(2)=5(1-e^{-2}), com e^{-2}\approx 0{,}13534, V(2)\approx 5(1-0{,}13534)=5\cdot 0{,}86466\approx 4{,}323\\ \mathrm{V}.
  • t=3\\ \mathrm{s}: V(3)\approx 5(1-e^{-3}), com e^{-3}\approx 0{,}04979, V(3)\approx 5\cdot 0{,}95021\approx 4{,}751\\ \mathrm{V}.
  • t\to\infty: V(t)\to V_{\max}=5\\ \mathrm{V} (assíntota horizontal).

Passo 6

Forma da curva e propriedades úteis para desenhar (sem calculadora, apenas esboço):
  • A curva parte do ponto (0,0).
  • É crescente e monótona: V'(t)>0 para todo t\ge 0. Podemos mostrar isso derivando: \frac{dV}{dt}=\frac{V_{\max}}{\tau}e^{-t/\tau},então em t=0 a inclinação inicial é \dfrac{dV}{dt}\Big|_{0}=\dfrac{V_{\max}}{\tau}=\dfrac{5}{1}=5\\ \mathrm{V/s}.
  • A curva é côncava para baixo (vai achatando) porque a segunda derivada é negativa: \frac{d^{2}V}{dt^{2}}=-\frac{V_{\max}}{\tau^{2}}e^{-t/\tau}<0.
  • Assíntota horizontal em V=5\\ \mathrm{V}. A curva se aproxima de 5\\ \mathrm{V} mas nunca a ultrapassa.
  • Ponto-chave para marcar no esboço: em t=1\\ \mathrm{s} (que é \tau) marque V\approx 3{,}16\\ \mathrm{V}. Esse ponto ajuda a dar a forma correta.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (guia prático para prova, sem precisar desenhar muito certinho):
  1. Desenhe os eixos: eixo horizontal tempo t com marcações 0,\\\ 1,\\\ 2,\\\ 3\\ \mathrm{s}; eixo vertical tensão V com marcações 0,\\\ 1,\\\ 2,\dots,5\\ \mathrm{V}.
  2. Marque o ponto inicial (0,0).
  3. Marque a assíntota horizontal V=5\\ \mathrm{V} como uma linha pontilhada.
  4. Marque o ponto (1,\,3{,}16) — esse dá a curvatura correta.
  5. Marque alguns pontos adicionais da tabela (por exemplo (0{,}5,\,1{,}97), (2,\,4{,}32), (3,\,4{,}75)).
  6. Desenhe uma curva suave que sai em (0,0), sobe rapidamente no começo (inclinação inicial ~5 V/s), depois vai se achatando e se aproximando de 5\\ \mathrm{V}. Não há oscilações nem ultrapassagens.

Passo 8

Resumo didático curto para a prova (decore mentalmente):
  • V(0)=0\\ \mathrm{V}.
  • Após t=\tau=1\\ \mathrm{s}, V é ~63,2% de V_{\max}, ou seja ~3,16 V.
  • Curva crescente, côncava para baixo, assíntota em 5\\ \mathrm{V}.

Resposta

V(0)=0\\ \mathrm{V}
Esboço: curva crescente partindo de 0\\ \mathrm{V}, em t=1\\ \mathrm{s} tem V\approx 3{,}16\\ \mathrm{V}, aproxima-se assintoticamente de 5\\ \mathrm{V} (constante de tempo \tau=1\\ \mathrm{s}).

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