Se V_{\text {max }}=5 \mathrm{~V} e \tau=1 \mathrm{~s}, calcule V(0) e esboce o comportamento gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a tensão no capacitor no tempo por
V(t)=V_{\max}\left(1-e^{-t/\tau}\right),
com os valores numéricos fornecidos:
\,V_{\max}=5\\ \mathrm{V},
\,\tau=1\\ \mathrm{s}.
O que é pedido:
Calcular V(0) (a tensão no instante t=0).
Esboçar o comportamento gráfico de V(t) ao longo do tempo (dizer como desenhar o gráfico, pontos importantes, forma geral).
Passo 2
Entendendo a expressão no instante t=0.
A função contém o termo exponencial e^{-t/\tau}. Vamos avaliar esse termo em t=0:
e^{-t/\tau}\Big|_{t=0}=e^{0}=1.
Substituir isso na fórmula dá a tensão inicial. Isso é só avaliar a função no ponto t=0, operação direta que sempre fazemos em prova: trocar t por 0 e simplificar.
Passo 3
Cálculo direto de V(0). Substituindo t=0, V_{\max}=5 e usando e^{0}=1:
Ou seja, a tensão inicial é 0\\ \mathrm{V}. Isso faz sentido físico: no instante inicial, ao começar a carga, o capacitor não tem carga (situação típica em RC).
Passo 4
Interpretação física e significado da constante de tempo \tau.
A constante de tempo \tau mede quão rápido o capacitor se carrega. Para a lei
Forma da curva e propriedades úteis para desenhar (sem calculadora, apenas esboço):
A curva parte do ponto (0,0).
É crescente e monótona: V'(t)>0 para todo t\ge 0. Podemos mostrar isso derivando:\frac{dV}{dt}=\frac{V_{\max}}{\tau}e^{-t/\tau},então em t=0 a inclinação inicial é \dfrac{dV}{dt}\Big|_{0}=\dfrac{V_{\max}}{\tau}=\dfrac{5}{1}=5\\ \mathrm{V/s}.
A curva é côncava para baixo (vai achatando) porque a segunda derivada é negativa:\frac{d^{2}V}{dt^{2}}=-\frac{V_{\max}}{\tau^{2}}e^{-t/\tau}<0.
Assíntota horizontal em V=5\\ \mathrm{V}. A curva se aproxima de 5\\ \mathrm{V} mas nunca a ultrapassa.
Ponto-chave para marcar no esboço: em t=1\\ \mathrm{s} (que é \tau) marque V\approx 3{,}16\\ \mathrm{V}. Esse ponto ajuda a dar a forma correta.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (guia prático para prova, sem precisar desenhar muito certinho):
Desenhe os eixos: eixo horizontal tempo t com marcações 0,\\\ 1,\\\ 2,\\\ 3\\ \mathrm{s}; eixo vertical tensão V com marcações 0,\\\ 1,\\\ 2,\dots,5\\ \mathrm{V}.
Marque o ponto inicial (0,0).
Marque a assíntota horizontal V=5\\ \mathrm{V} como uma linha pontilhada.
Marque o ponto (1,\,3{,}16) — esse dá a curvatura correta.
Marque alguns pontos adicionais da tabela (por exemplo (0{,}5,\,1{,}97), (2,\,4{,}32), (3,\,4{,}75)).
Desenhe uma curva suave que sai em (0,0), sobe rapidamente no começo (inclinação inicial ~5 V/s), depois vai se achatando e se aproximando de 5\\ \mathrm{V}. Não há oscilações nem ultrapassagens.
Passo 8
Resumo didático curto para a prova (decore mentalmente):
V(0)=0\\ \mathrm{V}.
Após t=\tau=1\\ \mathrm{s}, V é ~63,2% de V_{\max}, ou seja ~3,16 V.
Curva crescente, côncava para baixo, assíntota em 5\\ \mathrm{V}.
Resposta
V(0)=0\\ \mathrm{V}
Esboço: curva crescente partindo de 0\\ \mathrm{V}, em t=1\\ \mathrm{s} tem V\approx 3{,}16\\ \mathrm{V}, aproxima-se assintoticamente de 5\\ \mathrm{V} (constante de tempo \tau=1\\ \mathrm{s}).