Segurança de Senhas: O número de combinações é
. Determine o número de caracteres
necessário para que
seja pelo menos 1.048.576.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do número de combinações
e pede: determinar o número de caracteres
necessário para que
seja pelo menos
.
Ou seja, queremos o menor inteiro tal que
Ou seja, queremos o menor inteiro
Passo 2
Vou explicar duas maneiras naturais de atacar essa desigualdade (escolha a que achar mais intuitiva): (A) reconhecer potências de
conhecidas; (B) usar logaritmo. Primeiro, uma observação importante sobre a função
: ela é crescente (ou seja, se
então
). Isso significa que, se acharmos um
com
, esse
é exatamente o menor que satisfaz a desigualdade.
Passo 3
Método A — usar potências conhecidas. É frequente lembrar que
Então
Agora calculamos
passo a passo para ver que dá exatamente o número pedido:
somando,
Portanto
Passo 4
Como
é crescente, e já encontramos que
, o menor inteiro
que satisfaz
é
.
Observação extra (método B rapido): aplicando logaritmo base
à desigualdade obteríamos
. Como
, chega-se à mesma conclusão; se o lado direito não fosse potência exata de
, tomar-se-ia o teto
para obter o menor inteiro.