Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. Usando a Lei de Gauss, mostre que, a uma distância r(r<R), o campo pode ser escrito por:
E=rho r2 varepsilon0

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro infinitamente longo de raio R com densidade volumétrica de carga uniforme rho. Queremos encontrar o módulo do campo elétrico E a uma distância r do eixo, com r<R. O método é aplicar a Lei de Gauss, que em sua forma integral afirma:
ointSEcdot dA ;=;Qintvarepsilon0
Por simetria cilíndrica, o campo será radial, de módulo E(r), e constante em uma superfície cilíndrica coaxial.

Passo 2

Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro imaginário de raio r e comprimento L, coaxial ao cilindro carregado. Nessa superfície, o vetor área dA na parte lateral aponta radialmente para fora, paralelo a E, enquanto nas bases o campo é perpendicular às normais, gerando fluxo zero.

Passo 3

O fluxo total atravessando a superfície de Gauss é dado apenas pela parede lateral:
PhiE ;=; E(r);times;( área lateral ) ;=;E(r)times(2pi r L) á

Passo 4

A carga total contida dentro desse cilindro de raio r e comprimento L é
Qint ;=; rho times (volume) ;=; rho,(pi r^2L)

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E(r),(2pi r L) ;=; Qintvarepsilon0 ;=; rho,pi r^2Lvarepsilon0
Cancelando pi e L dos dois lados e isolando E(r), obtemos
E(r) ;=; rho,r2,varepsilon0

Resposta

E=rho,r2,varepsilon0

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