Um longo cilindro não-condutor de raio R possui uma densidade volumétrica de carga nãouniforme rho=beta r^2. Usando a Leis de Gauss, mostre que o campo elétrico em um ponto P (no interior do cilindro R>r) é dado por
E=beta r^34 varepsilon0

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro não-condutor, infinito, de raio R, com densidade volumétrica de carga não uniforme
rho(r)=beta,r^2
Queremos o campo elétrico E num ponto P situado a uma distância r do eixo, com r<R. Para isso usamos a Lei de Gauss e a simetria cilíndrica do problema.

Passo 2

Por simetria a densidade de carga só depende de r e o campo elétrico é radial: E(r)=E(r),hat r.
Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio r e comprimento L.
O fluxo elétrico através dessa superfície é
Phi = oint Ecdot dA = E(r),(2pi r L),
pois apenas a parede lateral contribui.

Passo 3

Calculamos a carga interna ao cilindro de Gauss:
Qrm int = integralV rho,dV = integral0^r!!integral0^2pi!!integral0^L beta,r'^2;l(r',dr',dtheta,dzr) =2pibeta Lintegral0^rr'^3dr' =2pibeta L,r^44 =pibeta L,r^42

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss,
Phi = Qrm intvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r),(2pi r L) =1varepsilon0;pibeta L,r^42
Isolando E(r),
E(r) =pibeta L,r^42,varepsilon0,2pi r L =beta,r^34,varepsilon0

Resposta

E = beta,r^34,varepsilon0

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