Determine o valor de m para que os vetores v1=m x-2 y+3 z e v2=2 x-1 y+2 z sejam ortonogais.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem dois vetores:
v1 = m, x - 2, y + 3, z
v2 = 2, x - 1, y + 2, z
Queremos descobrir o valor de $ m $ para que esses vetores sejam ortogonais, ou seja, que o ângulo entre eles seja de 90 graus. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se temos dois vetores a = ax, x + ay, y + az, z e b = bx, x + by, y + bz, z, o produto escalar é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deles deve ser igual a zero:
v1 cdot v2 = 0

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores v1 e v2:
v1 cdot v2 = (m)(2) + (-2)(-1) + (3)(2) = 0
Vamos calcular cada termo:
  1. $ m \times 2 = 2m $
  2. $ -2 \times -1 = 2 $
  3. $ 3 \times 2 = 6 $
Então, a equação fica:
m times 2 = 2m

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ m $:
m
Subtraímos 8 de ambos os lados:
2m + 8 = 0
Dividimos ambos os lados por 2:
2m = -8

Resposta

O valor de $ m $ que torna os vetores m e v1 ortogonais é $ m = -4 $.

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