Qual é a carga em excesso de uma esfera condutora de raio r=0,13 \mathrm{~m} se o potencial da esfera é 2082 \mathrm{Ve} V=0 no infinito? Expresse a carga em nanoCoulombs (nC)
(a) 15,66
(b) 37,59
(c) 57,32
(d) 49,67
(e) 22,05 \quad 30,11

Passo 1

O enunciado pede a carga em excesso de uma esfera condutora de raio r=0,13\,\mathrm{m} cujo potencial é V=2082\,\mathrm{V} em relação ao infinito. Vamos usar o conceito de potencial de uma esfera condutora isolada, que satisfaz
V = k\,\frac{Q}{r},
onde k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 2

Reescrevendo a fórmula para a carga Q, obtemos
Q = 4\pi\,\varepsilon_0\,r\,V.
Aqui usamos que k=1/(4\pi\varepsilon_0), logo Q=Vr/k=4\pi\varepsilon_0\,r\,V.

Passo 3

Substituímos os valores numéricos:
\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, \quad r = 0{,}13\,\mathrm{m}, \quad V = 2082\,\mathrm{V}.
Calculamos primeiro 4\pi\varepsilon_0:
4\pi\varepsilon_0 = 4\pi \times 8{,}854\times10^{-12} \approx 1{,}11265\times10^{-10}\,\mathrm{F/m}.
Em seguida
4\pi\varepsilon_0\,r \approx 1{,}11265\times10^{-10}\times0{,}13 =1{,}44645\times10^{-11}\,\mathrm{F},
e finalmente
Q = 1{,}44645\times10^{-11}\times2082 \approx 3{,}0114\times10^{-8}\,\mathrm{C}.

Passo 4

Convertendo para nanoCoulombs 1\,\mathrm{C}=10^9\,\mathrm{nC}:
Q = 3{,}0114\times10^{-8}\,\mathrm{C} =30{,}114\,\mathrm{nC} \approx 30{,}11\,\mathrm{nC}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o valor 30{,}11\,\mathrm{nC} corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) 30,11,nC

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