(2,0 pt) (a) Qual é a carga em excesso de uma esfera condutora de raio \mathrm{r}=1 \mathrm{~m} se o potencial superfície da esfera é V=1200 \mathrm{~V} e no infinito V=0 \mathrm{~V} ? (b) Qual o valor do campo elétrico na superficie esfera? (c) Qual o valor do potencial e do campo elétrico no centro da esfera? (d) Esboce os gráficos V(r) e E(r) desde o centro da esfera ( r=0 ) até um valor grande de raio (maior que o raio da esfera).

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora de raio r=1 m com potencial na superfície V(1)=1200 V e potencial no infinito V(\infty)=0. O conteúdo é eletrostática de condutor isolado, em que externamente a esfera se comporta como carga pontual Q. Usaremos:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}
e
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,.

Passo 2

Para determinar Q impomos V(1)=1200 V em
V(1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{1}\quad\Longrightarrow\quad Q=4\pi\varepsilon_0\cdot1\cdot1200\,.
Substituindo \varepsilon_0=8,85\times10^{-12} F/m resulta
Q=4\pi\times8,85\times10^{-12}\times1200\approx1,33\times10^{-7}\,\mathrm{C}\,.

Passo 3

O campo na superfície ( r=1 m) é
E(1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{1^2}
mas como V(1)=1200 V e E(1)=V(1)/1 m, fica
E(1)=1200\\ \mathrm{V/m}\,.

Passo 4

No interior do condutor r<1 o campo é nulo e o potencial é constante igual ao da superfície. Logo, no centro da esfera:
E(0)=0,\quad V(0)=V(1)=1200\\ \mathrm{V}\,.

Passo 5

Gráfico de V(r): para 0\le r\le1 mantém-se em 1200 V, e para r>1 decai como 1/r até zero no infinito.
Gráfico de E(r): para r\le1 é zero, e para r>1 decai como 1/r^2, partindo de 1200 V/m em r=1.

Resposta

(a) Q\approx1,33\times10^{-7}\,\mathrm{C}
(b) E(1)=1200\\ \mathrm{V/m}
(c) V(0)=1200\\ \mathrm{V} e E(0)=0
(d) V(r) constante igual a 1200 V até r=1 e decaindo como 1/r para r>1; E(r)=0 para r\le1 e decaindo como 1/r^2 para r>1.

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