Solução da Equação Característica: A equação que você obteve no passo (a) é uma equação quadrática. Resolva-a para encontrar os possíveis valores de \lambda utilizando a fórmula de Bhaskara.
O que você deve obter: As duas raízes para \lambda devem ser:
\lambda=-\frac{R}{2 L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{2 L}\right)^{2}-\frac{1}{L C}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação característica obtida no passo (a) associada a um circuito RLC série homogêneo. Essa equação é quadrática em \lambda e envolve o conteúdo de equações diferenciais lineares de 2ª ordem e a aplicação da fórmula de Bhaskara para raízes de uma equação quadrática.

Passo 2

Escrevemos a equação característica na forma padrão em termos de \lambda:
L\,C\,\lambda^2 \;+\; R\,C\,\lambda \;+\; 1 \;=\; 0.
Dividindo tudo por L\,C, obtemos a forma reduzida
\lambda^2 \;+\;\frac{R}{L}\,\lambda \;+\;\frac{1}{L\,C} \;=\; 0.

Passo 3

Identificamos os coeficientes da quadrática
a = 1,\quad b = \frac{R}{L},\quad c = \frac{1}{L\,C},
e aplicamos a fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,a\,c}}{2\,a}.

Passo 4

Substituindo a, b e c na fórmula, vem
\lambda = \frac{-\frac{R}{L} \pm \sqrt{\bigl(\frac{R}{L}\bigr)^2 - 4\cdot1\cdot\frac{1}{L\,C}}}{2}.
Podemos escrever
\lambda = -\frac{R}{2\,L} \pm \frac{1}{2}\,\sqrt{\Bigl(\frac{R}{L}\Bigr)^2 - \frac{4}{L\,C}}.

Passo 5

Para realçar o termo \bigl(\tfrac{R}{2L}\bigr)^2 dentro da raiz, reescrevemos:
\lambda = -\frac{R}{2\,L} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{R}{2\,L}\Bigr)^2 - \frac{1}{L\,C}}.

Resposta

\lambda = -\frac{R}{2\,L} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{R}{2\,L}\Bigr)^2 - \frac{1}{L\,C}}.

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