Uma carga \mathrm{q}_{1}=1,0 \mu \mathrm{C} está em \mathrm{x}_{1}=+1,0 \mathrm{~mm} e uma segunda carga \mathrm{q}_{1}=-1,0 \mu \mathrm{C} está em \mathrm{x}_{1}=-1,0 \mathrm{~mm}. (a) Calcule o campo elétrico num ponto arbitrário do eixo dos x, \operatorname{com} \mathrm{x}> 1 mm . (b) Calcule o campo elétrico sobre um ponto do eixo dos x , sendo \mathrm{x}=+3 \mathrm{~mm}. (c) Calcule o limite do campo elétrico quando \mathrm{x} \gg 1,0 \mathrm{~mm}. (d) Calcule o campo elétrico para x=1,0 \mathrm{~m}.

Passo 1

Temos duas cargas puntiformes ao longo do eixo x: \displaystyle q_1=+1{,}0\\ \mu\mathrm{C} em x_1=+1{,}0\\ \mathrm{mm} e \displaystyle q_2=-1{,}0\\ \mu\mathrm{C} em x_2=-1{,}0\\ \mathrm{mm}.
O conteúdo aqui é lei de Coulomb e princípio da superposição de campos. Para resolver, vamos usar
E(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_i \frac{q_i}{(x-x_i)^2}\,,
considerando o sinal de cada carga e que estamos em pontos com x>1\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Para x>1\\ \mathrm{mm} definimos a=1{,}0\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Então
E(x) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\Bigl[\frac{q_1}{(x-a)^2}+\frac{q_2}{(x+a)^2}\Bigr] =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\Bigl[\frac{1}{(x-a)^2}-\frac{1}{(x+a)^2}\Bigr].

Passo 3

Em x=+3\\ \mathrm{mm}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, usamos \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=8{,}99\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
E(3\text{ mm}) = k\,q\Bigl[\frac{1}{(2{,}0\times10^{-3})^2}-\frac{1}{(4{,}0\times10^{-3})^2}\Bigr] \approx1{,}69\times10^{9}\\ \mathrm{V/m},
direção positiva (para a direita).

Passo 4

Quando x\gg a expandimos em série: \displaystyle\frac{1}{(x\mp a)^2}=\frac{1}{x^2}\frac1{(1\mp a/x)^2} \approx\frac{1}{x^2}\bigl(1\pm2\,\tfrac{a}{x}\bigr).
Assim
E(x)\approx k\,q\frac{1}{x^2}\Bigl[(1+2\tfrac{a}{x})-(1-2\tfrac{a}{x})\Bigr] =4\,k\,q\,\frac{a}{x^3}.

Passo 5

Para x=1{,}0\\ \mathrm{m} (que é muito maior que a), usamos a forma aproximada:
E(1{,}0\\ \mathrm{m})\approx4\,k\,q\,\frac{a}{(1{,}0)^3} =4\cdot8{,}99\times10^9\cdot10^{-6}\cdot10^{-3} \approx3{,}6\times10^{1}\\ \mathrm{V/m},
direção positiva.

Resposta

(a) E(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,q\Bigl[\frac{1}{(x-a)^2}-\frac{1}{(x+a)^2}\Bigr],\quad a=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
(b) E(3\\ \mathrm{mm})\approx1{,}69\times10^{9}\\ \mathrm{V/m} (para a direita).
(c) \displaystyle E(x)\approx4\,k\,q\,\frac{a}{x^3} quando x\gg a.
(d) E(1{,}0\\ \mathrm{m})\approx3{,}6\times10^{1}\\ \mathrm{V/m} (para a direita).

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