Um segmento de reta uniformemente carregado estende-se de \mathrm{x}=-2,5 \mathrm{~cm} até \mathrm{x}=+2,5 \mathrm{~cm} e tem a densidade linear de carga \lambda=6,0 \eta \mathrm{C} / \mathrm{m}. Calcular:
(a) A carga elétrica do segmento;
(b) O campo elétrico sobre o eixo do y, em (i) y=4 \mathrm{~cm}, (ii) y=12 \mathrm{~cm} e (iii) y=45 \mathrm{~m};

Passo 1

O enunciado descreve um segmento de reta carregado uniformemente, que vai de x=-2{,}5,cm até x=+2{,}5,cm, com densidade linear \lambda=6{,}0, \mu\mathrm{C/m}. Precisamos calcular:
a) a carga total Q do segmento;
b) o campo elétrico no eixo y nos pontos y=4,cm, y=12,cm e y=45,m.
O conteúdo que vamos usar é a definição de distribuição contínua de carga e a lei de Coulomb para elemento de carga \mathrm{d}q=\lambda\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Para achar a carga total basta multiplicar a densidade linear pelo comprimento do segmento. O comprimento é
L = x_{\text{f}} - x_{\text{i}} = 2{,}5\text{ cm} -(-2{,}5\text{ cm}) = 5{,}0\text{ cm} = 0{,}05\text{ m}.
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Q = \lambda\,L = (6{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C/m})\times0{,}05\,\mathrm{m} = 3{,}0\times10^{-7}\,\mathrm{C}.

Passo 3

Para um ponto no eixo y, simétrico em relação a x=0, a componente horizontal do campo se anula e resta apenas E_y. Tomando um elemento \mathrm{d}q=\lambda\,\mathrm{d}x em x, sua contribuição diferencial em módulo é
\mathrm{d}E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{r^2} \quad\text{com}\quad r^2 = x^2 + y^2,
e a componente ao longo de y é \mathrm{d}E_y = \mathrm{d}E\,(y/r). Portanto
E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\lambda\,y \int_{-a}^{+a}\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+y^2)^{3/2}},
onde a = L/2 = 0{,}025,m. A integral vale
\int_{-a}^{+a}\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \left[\frac{x}{y^2\sqrt{x^2+y^2}}\right]_{-a}^{+a} = \frac{2a}{y^2\sqrt{a^2+y^2}}.
Substituindo, obtemos a forma final
E_y = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\,\frac{a}{y\,\sqrt{a^2+y^2}},
sempre apontando no sentido +y.

Passo 4

Vamos aos valores numéricos. Primeiro calculemos o fator
\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} = \frac{6{,}0\times10^{-6}}{2\pi\times8{,}854\times10^{-12}} \approx1{,}08\times10^{5}\,\mathrm{N/C}.
Para y=4,cm =0{,}04,m e a=0{,}025,m temos
E_y(0{,}04) =1{,}08\times10^{5}\;\frac{0{,}025}{0{,}04\sqrt{0{,}025^2+0{,}04^2}} \approx1{,}43\times10^{6}\,\mathrm{N/C}.

Passo 5

Para y=12,cm =0{,}12,m o mesmo processo dá
E_y(0{,}12) =1{,}08\times10^{5}\;\frac{0{,}025}{0{,}12\sqrt{0{,}025^2+0{,}12^2}} \approx1{,}83\times10^{5}\,\mathrm{N/C}.

Passo 6

Para y=45,m, como y\gg a, a expressão exata converge ao resultado de carga pontual, mas usando a mesma fórmula temos
E_y(45) =1{,}08\times10^{5}\;\frac{0{,}025}{45\sqrt{0{,}025^2+45^2}} \approx1{,}33\,\mathrm{N/C}.

Resposta

(a) Q=3{,}0\times10^{-7}\,\mathrm{C}.
(b) (i) E_y(4\text{ cm})\approx1{,}43\times10^{6}\,\mathrm{N/C}.
\quad (ii) E_y(12\text{ cm})\approx1{,}83\times10^{5}\,\mathrm{N/C}.
\quad (iii) E_y(45\text{ m})\approx1{,}33\,\mathrm{N/C}.

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