Três massas idênticas, m, estão situadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a.
a) Coloque o triângulo num sistemas de coordenadas apropriado.
b) Calcule a força gravitacional (na forma vetorial, lógico) que age sobre qualquer uma dessas massas.
c) Mostre que a força aponta na direção do ponto
G=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right),
conhecido como baricentro do triângulo e sendo \left(x_{i}, y_{i}\right) as coordenadas dos vértices do triângulo no sistema de coordenadas escolhido.

Passo 1

O enunciado pede para colocarmos três massas idênticas m nos vértices de um triângulo equilátero de lado a, calcular a força gravitacional resultante sobre qualquer uma dessas massas e mostrar que essa força aponta para o baricentro do triângulo. O conteúdo matemático envolve gravitação newtoniana (força entre pares de massas) e soma vetorial.

Passo 2

Vamos escolher o vértice onde calculamos a força como ponto A e posicionar o triângulo em coordenadas:
\vec r_A = (0,0),\quad \vec r_B = (a,0),\quad \vec r_C = \Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\Bigr).
A força de B sobre A vale
\vec F_{B\to A} = G\,\frac{m\cdot m}{|\vec r_B-\vec r_A|^2}\,\frac{\vec r_B-\vec r_A}{|\vec r_B-\vec r_A|} = G\,\frac{m^2}{a^2}\,(1,0).
A força de C sobre A vale
\vec F_{C\to A} = G\,\frac{m^2}{|\vec r_C-\vec r_A|^2}\,\frac{\vec r_C-\vec r_A}{|\vec r_C-\vec r_A|} = G\,\frac{m^2}{a^2}\,\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Somando as duas contribuições, a força resultante em A é
\vec F_A = \vec F_{B\to A} + \vec F_{C\to A} = G\,\frac{m^2}{a^2}\,\Bigl(1+\tfrac12,\;0+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = G\,\frac{m^2}{a^2}\,\Bigl(\tfrac32,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).

Passo 3

O baricentro G do triângulo de vértices (x_i,y_i) é
\vec r_G =\Bigl(\tfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\,\tfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{0 + a + \tfrac a2}{3},\,\tfrac{0 + 0 + \tfrac{\sqrt3\,a}{2}}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt3\,a}{6}\Bigr).
O vetor que vai de A até G é
\vec r_G - \vec r_A =\Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt3\,a}{6}\Bigr).
Note que
\Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt3\,a}{6}\Bigr) \;\text{é paralelo a}\; \Bigl(\tfrac32,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr),é
portanto \vec F_A tem a mesma direção de \vec r_G-\vec r_A, isto é, aponta para o baricentro.

Resposta

a) Uma escolha conveniente de coordenadas é
\vec r_A = (0,0),\quad \vec r_B = (a,0),\quad \vec r_C = \Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}\,a}{2}\Bigr).
b) A força gravitacional sobre a massa em A é
\vec F_A = G\,\frac{m^2}{a^2}\,\Bigl(\tfrac32,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr),
com magnitude
|\vec F_A| = G\,\frac{m^2\sqrt{3}}{a^2}.
c) O vetor força \vec F_A é paralelo a
\vec r_G-\vec r_A =\Bigl(\tfrac{a}{2},\,\tfrac{\sqrt3\,a}{6}\Bigr),
logo \vec F_A aponta exatamente para o baricentro
G=\Bigl(\tfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\,\tfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\Bigr).

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