Um disco com 2,5 \mathrm{~cm} de raio possui uma densidade superficial de carga de 5,3 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} na sua face superior. Qual a intensidade do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto sobre o seu eixo central a uma distância y=12 \mathrm{~cm} do disco? A que distância ao longo do eixo central do disco a intensidade do campo elétrico é igual à metade da intensidade do campo no centro da superfície do disco?

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=2,5\,\mathrm{cm} com densidade superficial de carga \sigma=5,3\times10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. Pede-se a intensidade do campo elétrico no eixo central a y=12\,\mathrm{cm} e a posição ao longo do eixo onde o campo vale metade do valor no centro da superfície. O conteúdo é cálculo de campo de disco uniformemente carregado, usando integração de anéis.

Passo 2

Consideremos um anel de raio r e espessura dr. A carga desse anel é
dQ=\sigma\;2\pi r\,dr.
No ponto P sobre o eixo, a contribuição de campo desse anel vale
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dQ}{r^2+y^2}\cos\theta \quad\text{com}\quad \cos\theta=\frac{y}{\sqrt{r^2+y^2}}.
Substituindo dQ e \cos\theta obtemos
dE =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\frac{y\,r\,dr}{(r^2+y^2)^{3/2}}.
Integramos de r=0 a r=R e achamos
E(y) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\Bigl[1-\frac{y}{\sqrt{y^2+R^2}}\Bigr].

Passo 3

Para y=0,12\,\mathrm{m}, R=0,025\,\mathrm{m}, \sigma=5,3\times10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^2 e \varepsilon_0=8,85\times10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}, temos
E(0,12) =\frac{5,3\times10^{-6}}{2\cdot8,85\times10^{-12}} \Bigl[1-\frac{0,12}{\sqrt{0,12^2+0,025^2}}\Bigr] \approx6,3\times10^3\,\mathrm{N/C}.

Passo 4

No centro da superfície y=0 o campo é
E(0)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Queremos E(y)=\tfrac12\,E(0), ou seja
1-\frac{y}{\sqrt{y^2+R^2}}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{\sqrt{y^2+R^2}}=\frac12.
Elevando ao quadrado surge 3y^2=R^2, logo
y=\frac{R}{\sqrt3}\approx\frac{0,025}{1,732}\approx0,0144\,\mathrm{m}.

Resposta

A intensidade do campo a y=12\,\mathrm{cm} é aproximadamente 6,3\times10^3\,\mathrm{N/C}.
A distância ao longo do eixo onde o campo vale metade do valor central é y\approx1,44\,\mathrm{cm}.

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