Uma carga \mathrm{q}=+10 \mathrm{nC} está uniformemente distribuída está sobre uma superfície condutora esférica com raio de \mathrm{R}=12 \mathrm{~cm}. (a) Qual o módulo do campo elétrico na face externa e na face interna da superfície? (b) Qual o módulo do potencial elétrico na face externa interna da superfície? (c) Qual o potencial elétrico no centro da superfície? Qual o campo elétrico nesse ponto? (d) Esboce também um gráfico de V(r) e E(r) de r=0 até r>R.

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera condutora de raio R=0,12,m carregada com q=+10\times10^{-9},C distribuída apenas na sua face externa. O objetivo é usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico E(r) dentro r<R e fora r>R da esfera e depois integrar (ou usar a relação direta) para achar o potencial V(r), tomando V(\infty)=0.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss a uma superfície esférica de raio genérico r:
Para r<R, toda a carga está fora da superfície gaussiana, logo
\oint E\cdot dA = 0 \quad\Longrightarrow\quad E(r)=0.
Para r>R, a carga total q está envolvida, de modo que
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2} \equiv k\,\frac{q}{r^2},
com k=8{,}99\times10^9,SI.

Passo 3

Item (a): módulo do campo na face interna r=R^- e na face externa r=R^+.
- Para r=R^-: E(R^-)=0.
- Para r=R^+:
E(R^+)=k\,\frac{q}{R^2} =8,99\times10^9\;\frac{10\times10^{-9}}{(0{,}12)^2} \approx6{,}24\times10^3\\ \text{N/C}.

Passo 4

Para o potencial, usamos
V(r) = -\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr'
com V(\infty)=0. Logo
Para r\ge R:
V(r)=k\,\frac{q}{r}.
Para r\le R, o interior do condutor é equipotencial igual ao valor na superfície:
V(r)=V(R)=k\,\frac{q}{R}.

Passo 5

Item (b) e (c):
(b) Potencial na face externa r=R^+ e interna r=R^-:
V(R^\pm)=k\,\frac{q}{R} =8,99\times10^9\;\frac{10\times10^{-9}}{0{,}12} \approx7{,}49\times10^2\\ \text{V}.
(c) No centro r=0, como é condutor, temos o mesmo valor:
V(0)=V(R)=7{,}49\times10^2\\ \text{V},
e o campo
E(0)=0.

Passo 6

Esboço qualitativo de V(r) e E(r) para 0\le r\le R e r>R: V(r): para 0\le r\le R, é constante igual a kq/R; para r>R, decai como 1/r. E(r): para 0\le r\le R, é zero; para r>R, decai como 1/r^2.

Resposta

(a) E(R^-)=0\), \quad \(E(R^+)=6{,}24\times10^3\)\,N/C (b) \(V(R^-)=V(R^+)=7{,}49\times10^2\)\,V \text{(c)} \(V(0)=7{,}49\times10^2\)\,V, \quad \(E(0)=0\) (d) \(V(r)=\begin{cases}7{,}49\times10^2& r\le R,\kq/r& r>R,\end{cases}\quad E(r)=\begin{cases}0& r\le R,\kq/r^2& r>R.\end{cases}

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