Uma carga q=5 \mu C se move segundo a trajetória \vec{r}(t)=t \vec{\imath}+2 t \vec{\jmath}+3 t \vec{k} (em \boldsymbol{m} e t em s). Calcule o campo magnético \vec{B} no ponto P(1,1,0) m, no instante t=1 s.
(a) Calcule o vetor \vec{r};
(b) Calcule o vetor velocidade \vec{v};
(c) Calcule o vetor \vec{v} \times \vec{r}
(d) Calcule o vetor campo magnético \vec{B}.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético \vec B criado por uma carga pontual q em movimento, calculado em um ponto P num instante t=1\,\mathrm{s}. O conteúdo a aplicar é a forma da Lei de Biot–Savart para carga em movimento:
\vec B(\vec r,t) =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,\bigl(\vec v\times\vec r\bigr)}{r^{3}}
onde \vec v é a velocidade da carga, \vec r o vetor da carga até o ponto de observação e r=\|\vec r\|.

Passo 2

Calcular a posição da carga em t=1\,\mathrm{s} e em seguida o vetor \vec r do ponto carga até P.
A trajetória é
\vec r_{\rm carga}(t) = t\,\vec\imath +2t\,\vec\jmath+3t\,\vec k
Logo em t=1:
\vec r_{\rm carga}(1) =1\,\vec\imath+2\,\vec\jmath+3\,\vec k.
O ponto de observação é \vec r_{P}=(1,1,0). Assim
\vec r=\vec r_{P}-\vec r_{\rm carga}(1) =(1-1)\,\vec\imath + (1-2)\,\vec\jmath + (0-3)\,\vec k =0\,\vec\imath -1\,\vec\jmath -3\,\vec k.

Passo 3

Calcular a velocidade da carga, que é a derivada de \vec r_{\rm carga}(t):
\vec v=\frac{d\vec r_{\rm carga}}{dt} =1\,\vec\imath+2\,\vec\jmath+3\,\vec k.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec v\times\vec r. Usando determinante:
\vec v\times\vec r =\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 0 & -1 & -3 \end{vmatrix} =-3\,\vec\imath -(-3)\,\vec\jmath +(-1)\,\vec k =-3\,\vec\imath+3\,\vec\jmath -1\,\vec k.

Passo 5

Calcular o módulo de \vec r:
r=\|\vec r\| =\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{10},
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r^{3}=(\sqrt{10})^{3}=10\sqrt{10}.
Substituindo na Lei de Biot–Savart com \mu_{0}/(4\pi)=10^{-7} e q=5\times10^{-6}\,\mathrm{C}:
\vec B =\frac{10^{-7}\cdot5\times10^{-6}}{10\sqrt{10}} \bigl(-3\,\vec\imath+3\,\vec\jmath-1\,\vec k\bigr) =\frac{5\times10^{-13}}{10\sqrt{10}} \bigl(-3\,\vec\imath+3\,\vec\jmath-1\,\vec k\bigr).
Simplificando o escalar:
\frac{5\times10^{-13}}{10\sqrt{10}} =\frac{5\times10^{-14}}{\sqrt{10}} \approx1{,}58\times10^{-14}.

Resposta

\vec B(1,1,0;1\,\mathrm{s}) \approx\bigl(-4{,}74\,\hat\imath +4{,}74\,\hat\jmath -1{,}58\,\hat k\bigr)\times10^{-14}\,\mathrm T.

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