Uma carga q=1 \mu C se move no plano xy de acordo com a equação \vec{r}(t)=t \vec{\imath}+t^{2} \vec{\jmath} (em \boldsymbol{m} e t em s). Calcule o campo magnético \vec{B} no ponto P(0,1,0) m, no instante t=1 \mathrm{~s}.
(a) Calcule o vetor \vec{r};
(b) Calcule o vetor velocidade \vec{v};
(c) Calcule o vetor \vec{v} \times \vec{r}
(d) Calcule o vetor campo magnético \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma carga pontual q=1\,\mu\mathrm{C} no plano xy por
\vec{r}(t)=t\,\vec{\imath}+t^2\,\vec{\jmath}
e pede o campo magnético em P(0,1,0) no instante t=1\,\mathrm{s}.
O conteúdo é a Lei de Biot–Savart para carga em movimento, que, em regime não relativístico, pode ser escrita como
\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,\bigl(\vec{v}\times\vec{R}\bigr)}{R^{3}},
onde \vec{R}=\vec{r}_{P}-\vec{r}_{q}(t) é o vetor do elemento de carga até o ponto de campo.

Passo 2

Em t=1\,\mathrm{s} a posição da carga é
\vec{r}_{q}(1)=1\,\vec{\imath}+1^2\,\vec{\jmath}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}.
O ponto P vale \vec{r}_{P}=0\,\vec{\imath}+1\,\vec{\jmath}+0\,\vec{k}.
Logo o vetor de separação é
\vec{R}=\vec{r}_{P}-\vec{r}_{q}(1)=(0-1)\,\vec{\imath}+(1-1)\,\vec{\jmath}+(0-0)\,\vec{k}=-\,\vec{\imath}.

Passo 3

A velocidade é a derivada de \vec{r}(t):
\vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\,\vec{\imath}+t^2\,\vec{\jmath}\bigr)=\vec{\imath}+2t\,\vec{\jmath}.
Em t=1 obtemos
\vec{v}(1)=\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \vec{v}\times\vec{R} em t=1, com \vec{v}=(1,2,0) e \vec{R}=(-1,0,0):
\vec{v}\times\vec{R} =\begin{vmatrix} \vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\\\ 1&2&0\\\\ -1&0&0 \end{vmatrix} =2\,\vec{k}.

Passo 5

O módulo de \vec{R} é \lvert\vec{R}\rvert=1, logo R^3=1^3=1. Definindo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m} e q=1\times10^{-6}\,\mathrm{C}, aplicamos
\vec{B} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\bigl(\vec{v}\times\vec{R}\bigr)}{R^{3}} =\bigl(10^{-7}\bigr)\bigl(10^{-6}\bigr)\,2\,\vec{k} =2\times10^{-13}\,\vec{k}\;\mathrm{T}.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=2\times10^{-13}\,\vec{k}\;\mathrm{T}.

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