4^{\text {a }} Questão (2,0):

(a) Sabese que a solução para o oscilador harmònico amortecido sem uma força propulsora 6 dada por:
x(t)=A \exp \left(\frac{-b t}{2 m}\right) \cos \left(\omega^{\prime} t+\varphi\right)
Mostre que a expressio acima somada a uma soluçio qualquer da equaçĩo abaixo, isto és somada a solução de um oscilndor harmônico amortecido sujeito a uma força propulsora, ainda será uma solução:
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+b \frac{d x}{d t}+k x=F_{m} \cos \left(\omega_{d} t\right)
(b) Fisicamente, o que esta solução representa?

Passo 1

O enunciado nos dá a solução do oscilador harmônico amortecido sem força externa
x_h(t)=A \exp\!\bigl(-\tfrac{b\,t}{2m}\bigr)\cos\!\bigl(\omega' t + \varphi\bigr)
que satisfaz
m\ddot x + b\dot x + kx = 0
e pede para mostrar que, se x_p(t) é qualquer solução da equação forçada
m\ddot x + b\dot x + kx = F_m\cos(\omega_d t),
então
x(t)=x_h(t)+x_p(t)
também satisfaz a equação forçada. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares e o princípio de superposição.

Passo 2

Definimos o operador linear
\mathcal{L}[x] \;=\; m\ddot x + b\dot x + kx.
A equação homogênea é
\mathcal{L}[x_h]=0,
e a não-homogênea é
\mathcal{L}[x_p]=F_m\cos(\omega_d t).

Passo 3

Considere a soma
x(t)=x_h(t)+x_p(t).
Como \mathcal{L} é linear, vale
\mathcal{L}[x_h+x_p] =\mathcal{L}[x_h]+\mathcal{L}[x_p].

Passo 4

Usando que \mathcal{L}[x_h]=0 e \mathcal{L}[x_p]=F_m\cos(\omega_d t), obtemos
\mathcal{L}[x_h+x_p] =0 + F_m\cos(\omega_d t) =F_m\cos(\omega_d t),
logo x_h+x_p satisfaz exatamente
m\ddot x + b\dot x + kx = F_m\cos(\omega_d t).

Passo 5

Fisicamente, x_h(t) é a resposta natural (transiente), que decai exponencialmente devido ao amortecimento, e x_p(t) é a resposta forçada estacionária, que oscila na frequência \omega_d. A soma representa o comportamento completo: inicialmente o transiente domina, mas em regime permanente só resta a oscilação forçada.

Resposta

(a) Basta aplicar o operador linear \mathcal{L}[\,\cdot\,]=m\ddot x+b\dot x+kx à soma x_h+x_p e usar \mathcal{L}[x_h]=0, \mathcal{L}[x_p]=F_m\cos(\omega_d t). Assim \mathcal{L}[x_h+x_p]=F_m\cos(\omega_d t), logo é solução da equação forçada.
(b) Essa solução geral corresponde à soma da resposta transitória (que decai por amortecimento) com a resposta em regime permanente (oscilações forçadas na frequência \omega_d).

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