Questão (2,0):
(a) Sabese que a solução para o oscilador harmònico amortecido sem uma força propulsora 6 dada por:
Mostre que a expressio acima somada a uma soluçio qualquer da equaçĩo abaixo, isto és somada a solução de um oscilndor harmônico amortecido sujeito a uma força propulsora, ainda será uma solução:
(b) Fisicamente, o que esta solução representa?
Passo 1
O enunciado nos dá a solução do oscilador harmônico amortecido sem força externa
que satisfaz
e pede para mostrar que, se
é qualquer solução da equação forçada
então
também satisfaz a equação forçada. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares e o princípio de superposição.
Passo 2
Definimos o operador linear
A equação homogênea é
e a não-homogênea é
Passo 3
Considere a soma
Como
é linear, vale
Passo 4
Usando que
e
, obtemos
logo
satisfaz exatamente
Passo 5
Fisicamente,
é a resposta natural (transiente), que decai exponencialmente devido ao amortecimento, e
é a resposta forçada estacionária, que oscila na frequência
. A soma representa o comportamento completo: inicialmente o transiente domina, mas em regime permanente só resta a oscilação forçada.
Resposta
(a) Basta aplicar o operador linear
à soma
e usar
,
. Assim
, logo é solução da equação forçada.
(b) Essa solução geral corresponde à soma da resposta transitória (que decai por amortecimento) com a resposta em regime permanente (oscilações forçadas na frequência ).
(b) Essa solução geral corresponde à soma da resposta transitória (que decai por amortecimento) com a resposta em regime permanente (oscilações forçadas na frequência