Uma carga q=2 \mu C se move segundo a trajetória \vec{r}(t)=\cos (t) \vec{\imath}+\sin (t) \vec{\jmath}+t \vec{k} (em \boldsymbol{m} e t em s). Calcule o campo magnético \vec{B} no ponto P(0,0,0) m, no instante t=\pi.
(a) Calcule o vetor \vec{r};
(b) Calcule o vetor velocidade \vec{v};
(c) Calcule o vetor \vec{v} \times \vec{r}
(d) Calcule o vetor campo magnético \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá uma carga q=2\,\mu\text{C} que se move segundo
\vec r(t)=\cos(t)\,\vec\imath+\sin(t)\,\vec\jmath+t\,\vec k
e pede, no instante t=\pi, no ponto P(0,0,0):
(a) o vetor posição \vec r,
(b) o vetor velocidade \vec v,
(c) o produto vetorial \vec v\times\vec r,
(d) o campo magnético \vec B.
Vamos usar que, para uma carga em movimento, o campo magnético no ponto de posição relativa \vec R=\vec r_{\rm ponto}-\vec r_{\rm carga} é dado pela forma análoga à lei de Biot–Savart:
\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\vec v\times\hat R}{R^2}\,.
Como o ponto é a origem, \vec R=-\vec r, e portanto \hat R=-\vec r/|\vec r|.

Passo 2

Calcular \vec r(\pi). Basta substituir t=\pi:
\vec r(\pi)=\cos(\pi)\,\vec\imath+\sin(\pi)\,\vec\jmath+\pi\,\vec k =-1\,\vec\imath+0\,\vec\jmath+\pi\,\vec k
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\vec r(\pi)=(-1,\,0,\,\pi)\,\text{m}.

Passo 3

Calcular \vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt}. Derivando cada componente:
\vec v(t)=(-\sin t)\,\vec\imath+(\cos t)\,\vec\jmath+1\cdot\vec k.
Em t=\pi:
\vec v(\pi)=(0,\,-1,\,1)\,\text{m/s}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec v(\pi)\times\vec r(\pi). Usando
(v_1,v_2,v_3)\times(r_1,r_2,r_3) =\bigl(v_2r_3-v_3r_2,\;v_3r_1-v_1r_3,\;v_1r_2-v_2r_1\bigr),
com \vec v(\pi)=(0,-1,1) e \vec r(\pi)=(-1,0,\pi), obtemos
\vec v(\pi)\times\vec r(\pi) =\bigl((-1)\pi-1\cdot0,\;1\cdot(-1)-0\cdot\pi,\;0\cdot0-(-1)\cdot(-1)\bigr) =(-\pi,\,-1,\,-1).

Passo 5

Calcular \vec B no ponto origem. Aqui \vec R=-\vec r(\pi), mas como \hat R=-\vec r/|\vec r| inverte o sinal de \vec v\times\vec r, temos
\vec B =\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,[\vec v(\pi)\times\hat R]}{R^2} =-\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,(\vec v(\pi)\times\vec r(\pi))}{|\vec r(\pi)|^3}.
Como \vec v(\pi)\times\vec r(\pi)=(-\pi,-1,-1),
-\bigl(-\pi,-1,-1\bigr)=(\pi,1,1),
e |\vec r(\pi)|=\sqrt{(-1)^2+0^2+\pi^2}=\sqrt{1+\pi^2}. Portanto
\vec B =\frac{\mu_0\,q}{4\pi\,(1+\pi^2)^{3/2}}\;(\pi,\,1,\,1) \quad\text{(em tesla)}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec r(\pi)=(-1,\,0,\,\pi)\,\text{m}.
(b) \displaystyle \vec v(\pi)=(0,\,-1,\,1)\,\text{m/s}.
(c) \displaystyle \vec v(\pi)\times\vec r(\pi)=(-\pi,\,-1,\,-1).
(d) \displaystyle \vec B=\frac{\mu_0\,q}{4\pi\,(1+\pi^2)^{3/2}}\;(\pi,\,1,\,1)\,\text{T}.

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