Uma carga q=2 \mu C se move sobre uma circunferencia no plano xy com velocidade constante \vec{v}=10^{6} \vec{\imath} \frac{m}{\mathrm{~s}}. Calcule o vetor campo magnético no ponto P(0,0,1 \mathrm{~m}), no instante em que a carga passa pelo ponto $P(0,-1,0) m.

Passo 1

O enunciado dá uma carga puntual q=2\,\mu\mathrm C se movendo numa circunferência de raio 1,m no plano xy com velocidade constante \vec v=10^6\vec\imath \mathrm{m/s}. Queremos o campo magnético em P(0,0,1) no instante em que a carga está em (0,-1,0). O conteúdo usado será a lei de Biot–Savart para uma carga pontual em movimento:
\vec B(\vec r)\;=\;\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\;\vec v\times\vec r'}{r'^3},
onde \vec r'=\vec r-\vec r_q.

Passo 2

Identificamos o vetor da posição da carga e do ponto de campo: \vec r_q=(0,-1,0) e \vec r=(0,0,1).
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\vec r'=\vec r-\vec r_q=(0,0,1)-(0,-1,0)=(0,1,1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \vec v\times\vec r'. \vec v=(10^6,0,0) e \vec r'=(0,1,1), então
\vec v\times\vec r' =\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\\\ 10^6 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =-10^6\,\vec\jmath\,+10^6\,\vec k.

Passo 4

Calculamos r'=\|\vec r'\| e depois r'^3:
r'=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}, \quad r'^3=(\sqrt2)^{3}=2\sqrt2.

Passo 5

Substituímos na lei de Biot–Savart. Como \mu_0/4\pi=10^{-7} no SI,
\vec B =10^{-7}\,\frac{q\;(\vec v\times\vec r')}{r'^3} =10^{-7}\,\frac{2\times10^{-6}\,( -10^6\,\vec\jmath+10^6\,\vec k)}{2\sqrt2}.
O numerador vale
10^{-7}\times2\times10^{-6}\times10^6=(2\times10^{-7}),
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\vec B =\frac{2\times10^{-7}}{2\sqrt2}(-\vec\jmath+\vec k) =\frac{10^{-7}}{\sqrt2}(-\vec\jmath+\vec k).
Numericamente \tfrac{10^{-7}}{\sqrt2}\approx7{,}07\times10^{-8}.

Resposta

\vec B(0,0,1) \;=\; 7{,}07\times10^{-8}\,\bigl(-\vec\jmath+\vec k\bigr)\quad\mathrm{T}.

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