Uma carga q=3 \mu C se move com velocidade \vec{v}=5 \cdot 10^{6} \vec{\imath} \frac{m}{s}, paralela ao plano xy. Calcule o vetor campo magnético no ponto P(0,0,1) m, no instante em que a carga passa pela origem.

Passo 1

O enunciado dá uma carga pontual q=3\,\mu\text{C} que, no instante considerado, está na origem e se move com velocidade \vec v = 5\cdot10^{6}\,\vec\imath\;\mathrm{m/s}. Pede-se o campo magnético em P(0,0,1)\,\mathrm{m}. O conteúdo aplicado aqui é a Lei de Biot–Savart para carga em movimento, que fornece
\vec B(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\vec v\times\vec R}{R^3},
onde \vec R=\vec r-\vec r_q é o vetor do ponto de carga até o ponto de campo.

Passo 2

Determinar o vetor \vec R. Como a carga está na origem \vec r_q=(0,0,0) e o ponto é \vec r=(0,0,1),
\vec R = \vec r - \vec r_q = (0,0,1)\,\mathrm{m}.

Passo 3

Escrever a fórmula do campo magnético instantâneo de uma carga em movimento:
\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\vec v\times\vec R}{R^3}.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec v\times\vec R. Tomando \vec v=(v,0,0) com v=5\cdot10^6 e \vec R=(0,0,1),
\vec v\times\vec R = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\[6pt] v & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -\,v\,\vec\jmath = -5\cdot10^6\,\vec\jmath.]

Passo 5

Calcular R^3. Como R=|\vec R|=1,m, temos R^3=1^3=1.

Passo 6

Substituir constantes e valores numéricos. Sabe-se que \mu_0/(4\pi)=10^{-7}\,\mathrm{H/m}, q=3\times10^{-6}\,\mathrm{C} e v=5\times10^6\,\mathrm{m/s}. Logo
\frac{\mu_0}{4\pi}\,q\,v =10^{-7}\times(3\times10^{-6})\times(5\times10^6) =10^{-7}\times15 =1{,}5\times10^{-6}.

Passo 7

Combinar tudo para obter \vec B:
\vec B =\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,(\vec v\times\vec R)}{R^3} =(1{,}5\times10^{-6})(-\,\vec\jmath) =-1{,}5\times10^{-6}\,\vec\jmath \quad\bigl[\mathrm{T}\bigr].

Resposta

\boxed{\vec B(0,0,1)= -1{,}5\times10^{-6}\,\vec\jmath\;\mathrm{T}.}

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