Uma carga q=-1 \mu C se move com velocidade \vec{v}=(3 \vec{\imath}+4 \vec{\jmath}) \cdot 10^{6} \frac{m}{s}, e está localizada na origem no instante considerado. Calcule o campo magnético no ponto P(0,0,2).

Passo 1

O problema pede o campo magnético \vec B num ponto P(0,0,2) devido a uma carga pontual q=-1\,\mu\mathrm{C} que se move com velocidade \vec v=(3\,\vec\imath+4\,\vec\jmath)\times10^6, \mathrm{m/s}, estando a carga na origem no instante considerado. O conteúdo usado será a expressão de Biot–Savart para uma carga em movimento numa aproximação não‐relativística.

Passo 2

A fórmula para o campo magnético de uma carga pontual em movimento é
\vec B(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q}{R^2}\,\bigl(\vec v\times\hat R\bigr),
onde \vec R=\vec r-\vec r_q, R=|\vec R| e \hat R=\vec R/R.

Passo 3

O ponto de observação é \vec r=(0,0,2) e a carga está em \vec r_q=(0,0,0). Logo
\vec R=(0,0,2), \quad R=2\;\mathrm{m}, \quad \hat R=\frac{\vec R}{R}=\vec k.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
\vec v\times\hat R =(3\times10^6\,\vec\imath+4\times10^6\,\vec\jmath)\times\vec k =3\times10^6\,(\vec\imath\times\vec k)+4\times10^6\,(\vec\jmath\times\vec k) =-3\times10^6\,\vec\jmath+4\times10^6\,\vec\imath.

Passo 5

Substituindo em \displaystyle \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q}{R^2}(\vec v\times\hat R),
com \mu_0/4\pi=10^{-7} e q=-1\times10^{-6}\,\mathrm{C}, R^2=4:
\vec B =10^{-7}\,\frac{-1\times10^{-6}}{4}\,(-4\,\vec\imath+3\,\vec\jmath) =10^{-7}\bigl(-1\,\vec\imath+0{,}75\,\vec\jmath\bigr) \;\mathrm{T}.

Resposta

\boxed{\vec B = \bigl(-1{,}0\times10^{-7}\,\vec\imath \;+\;7{,}5\times10^{-8}\,\vec\jmath\bigr)\;\mathrm{T}.}

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