Uma carga negativa -q de massa m existe no plano x y, no qual duas outras cargas positivas Q estão posicionadas em (0, b) e (0,-b), respectivamente, com b>0.
a) Escreva a força vetorial que age na carga -q quando ela se encontra na posição (x, y).
b) Mostre que o ponto (0,0) é um ponto de equilíbrio para a carga.
c) Dê a expressão para sua aceleração quando ela se encontra no ponto ( a, 0 ), com a>0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma carga negativa -q com massa m no plano xy, e duas cargas positivas Q posicionadas nos pontos (0, b) e (0, -b). A matéria envolvida aqui é a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas, além de conceitos de vetores para representar as forças. Para resolver, vamos precisar das fórmulas da força elétrica e das propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a): Escrever a força vetorial que age na carga -q na posição (x, y). A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = ke q1 q2r^2 r
onde ke é a constante de Coulomb, q1 e q2 são as cargas, r é a distância entre elas, e r é o vetor unitário na direção da força.

Passo 3

A carga -q está sendo influenciada pelas duas cargas Q. Vamos calcular a força exercida por cada uma dessas cargas sobre -q.
Para a carga em (0, b):
  • A distância entre (x, y) e (0, b) é r1 = raizx^2 + (y - b)^2.
  • O vetor de posição da carga Q em relação a -q é r1 = (-x, b - y).
  • A força exercida por essa carga é:
F1 = ke (-q)(Q)r1^3 r1 = -ke qQ(x^2 + (y - b)^2)^3/2 (-x i + (b - y) j)
Similarmente, para a carga em (0, -b):
  • A distância é r2 = raizx^2 + (y + b)^2.
  • O vetor de posição é r2 = (-x, -b - y).
  • A força é:
F2 = ke (-q)(Q)r2^3 r2 = -ke qQ(x^2 + (y + b)^2)^3/2 (-x i + (-b - y) j)

Passo 4

Agora, somamos as duas forças para obter a força total F sobre a carga -q:
F = F1 + F2
Substituindo as expressões de F1 e F2:
F = -ke qQ(x^2 + (y - b)^2)^3/2 (-x i + (b - y) j) - ke qQ(x^2 + (y + b)^2)^3/2 (-x i + (-b - y) j)

Passo 5

Simplificando os sinais:
F = ke qQ x(x^2 + (y - b)^2)^3/2 i - ke qQ (b - y)(x^2 + (y - b)^2)^3/2 j + ke qQ x(x^2 + (y + b)^2)^3/2 i + ke qQ (b + y)(x^2 + (y + b)^2)^3/2 j
Agrupando os termos de i e j:
F = ke qQ x [ 1(x^2 + (y - b)^2)^3/2 + 1(x^2 + (y + b)^2)^3/2 ] i + ke qQ [ -(b - y)(x^2 + (y - b)^2)^3/2 + (b + y)(x^2 + (y + b)^2)^3/2 ] j

Resposta

A força vetorial que age na carga -q na posição (x, y) é dada por:
F = ke qQ x ( 1(x^2 + (y - b)^2)^3/2 + 1(x^2 + (y + b)^2)^3/2 ) i + ke qQ ( -(b - y)(x^2 + (y - b)^2)^3/2 + (b + y)(x^2 + (y + b)^2)^3/2 ) j

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