Dada uma distribuição de cargas, em coordenadas cilídricas, cuja densidade é
, no SI, use a Lei de Gauss para determinar o vetor campo elétrico, sabendo que a permissividade absoluta do meio vale
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o vetor campo elétrico associado à distribuição de carga dada.
Informações fornecidas:
- Densidade volumétrica de carga, em coordenadas cilíndricas:
(no SI). - Permissividade absoluta do meio:
. - Queremos o vetor campo elétrico
como função da coordenada radial .
Passo 2
Discussão de simetria (por que isso importa).
- A densidade
depende apenas de , não de nem de . Isso indica simetria cilíndrica: girando em torno do eixo ou deslocando ao longo de nada muda. - Pela simetria, o campo elétrico só pode apontar radialmente (não há direção preferencial em
nem em ). Logo , onde é o versor radial. - Com essa simetria, é natural escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento para aplicar a Lei de Gauss.
Passo 3
Enunciado da Lei de Gauss e aplicação à superfície escolhida.
- A Lei de Gauss (forma integral) diz:
onde
é a carga total contida no volume limitado pela superfície
.
- Na nossa superfície cilíndrica coaxial:
-
é radial e tem módulo constante sobre a superfície lateral do cilindro, então o fluxo pela lateral é área lateral . - O fluxo pelas tampas (bases) é zero porque
é paralelo às tampas (as tampas têm vetor área em e está na direção ).
-
- Portanto o lado lateral fornece todo o fluxo e a Lei de Gauss reduz-se a:
Passo 4
Cálculo da carga encerrada
dentro do cilindro de raio
e altura
.
- Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
. - A carga encerrada é
- Substituindo
e integrando passo a passo: - integral em
dá fator ; - integral em
dá fator ; - resta a integral radial:
- integral em
- Assim
Passo 5
Substituir
na Lei de Gauss e isolar
.
- Da equação do passo 3:
- Isolando
:
- Simplificando (cortando
e ):
- O sentido é radial para fora porque
. Logo o vetor campo é