Dada uma distribuição de cargas, em coordenadas cilídricas, cuja densidade é \rho=5 r, no SI, use a Lei de Gauss para determinar o vetor campo elétrico, sabendo que a permissividade absoluta do meio vale \epsilon.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o vetor campo elétrico associado à distribuição de carga dada.
Informações fornecidas:
  • Densidade volumétrica de carga, em coordenadas cilíndricas: \rho(r)=5\,r (no SI).
  • Permissividade absoluta do meio: \epsilon.
  • Queremos o vetor campo elétrico \mathbf{E} como função da coordenada radial r.

Passo 2

Discussão de simetria (por que isso importa).
  • A densidade \rho depende apenas de r, não de \varphi nem de z. Isso indica simetria cilíndrica: girando em torno do eixo ou deslocando ao longo de z nada muda.
  • Pela simetria, o campo elétrico só pode apontar radialmente (não há direção preferencial em \varphi nem em z). Logo \mathbf{E} = E(r)\,\hat{e}_r, onde \hat{e}_r é o versor radial.
  • Com essa simetria, é natural escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio \,r e comprimento L para aplicar a Lei de Gauss.

Passo 3

Enunciado da Lei de Gauss e aplicação à superfície escolhida.
  • A Lei de Gauss (forma integral) diz:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície \mathcal{S}.
  • Na nossa superfície cilíndrica coaxial:
    • \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre a superfície lateral do cilindro, então o fluxo pela lateral é E(r)\times área lateral =E(r)\cdot(2\pi r L).
    • O fluxo pelas tampas (bases) é zero porque \mathbf{E} é paralelo às tampas (as tampas têm vetor área em \pm\hat{e}_z e \mathbf{E} está na direção \hat{e}_r).
  • Portanto o lado lateral fornece todo o fluxo e a Lei de Gauss reduz-se a:
E(r)\, (2\pi r L) = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon}.

Passo 4

Cálculo da carga encerrada Q_{\text{int}} dentro do cilindro de raio r e altura L.
  • Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV = r' \,dr'\,d\varphi\,dz.
  • A carga encerrada é
Q_{\text{int}}=\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{r} \rho(r')\, r'\,dr'\,d\varphi\,dz.
  • Substituindo \rho(r')=5 r' e integrando passo a passo:
    • integral em \varphi dá fator 2\pi;
    • integral em z dá fator L;
    • resta a integral radial:
\int_{0}^{r} 5 r'\cdot r'\,dr' = 5\int_{0}^{r} r'^{2}\,dr' = 5\cdot\frac{r^{3}}{3} = \frac{5 r^{3}}{3}.
  • Assim
Q_{\text{int}} = 2\pi L \cdot \frac{5 r^{3}}{3} = \frac{10\pi L r^{3}}{3}.

Passo 5

Substituir Q_{\text{int}} na Lei de Gauss e isolar E(r).
  • Da equação do passo 3:
E(r)\, (2\pi r L) = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon} = \frac{1}{\epsilon}\cdot\frac{10\pi L r^{3}}{3}.
  • Isolando E(r):
E(r) = \frac{1}{2\pi r L}\cdot\frac{1}{\epsilon}\cdot\frac{10\pi L r^{3}}{3}.
  • Simplificando (cortando \pi e L):
E(r) = \frac{10 r^{3}}{6\epsilon r} = \frac{5 r^{2}}{3\epsilon}.
  • O sentido é radial para fora porque \rho>0. Logo o vetor campo é
\mathbf{E}(r)=\frac{5 r^{2}}{3\epsilon}\,\hat{e}_r.

Resposta

\mathbf{E}(r)=\frac{5 r^{2}}{3\epsilon}\,\hat{e}_r

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