Se uma carga total Q está localizada na origem, prove que a expressão que calcula o fluxo de campo elétrico que atravessa a porção de uma esfera centrada na origem descrita por \alpha \leq \varphi \leq \beta é dado por \Phi_{E}=\frac{\beta-\alpha}{2 \pi} Q.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Há uma carga total \,Q\, localizada na origem (ou seja, um carregamento pontual centrado na esfera).
  • Consideramos uma esfera qualquer centrada na origem (o raio pode ser qualquer r>0).
  • Queremos o fluxo do campo elétrico que atravessa a porção dessa esfera definida pelo intervalo azimutal \,\alpha \le \varphi \le \beta\,. Implicitamente estamos tomando o ângulo polar cobrindo toda a esfera, ou seja 0 \le \theta \le \pi.
  • A pergunta: mostrar que o fluxo através dessa porção é
\Phi_{E}=\frac{\beta-\alpha}{2\pi}\,Q.

Passo 2

Ideia geral (explicada de forma bem didática): o campo de uma carga puntiforme na origem é radial e, em uma esfera centrada na origem, o fluxo por unidade de ângulo sólido é uniforme. Portanto, o fluxo através de uma porção da superfície é proporcional ao ângulo sólido dessa porção. Em linguagem simples: se uma porção da esfera “vê” uma fração f do céu sólido total, ela recebe a fração f do fluxo total. A tarefa é (1) calcular o ângulo sólido \Omega da porção dada por \alpha\le\varphi\le\beta e 0\le\theta\le\pi, e (2) relacionar \Omega com o fluxo total.

Passo 3

Explicando coordenadas esféricas e o elemento de área (passo técnico importante):
  • Em coordenadas esféricas usamos o ângulo polar \theta com 0\le\theta\le\pi (medido a partir do eixo z) e o ângulo azimutal \varphi com 0\le\varphi<2\pi.
  • Um pequeno elemento de superfície sobre a esfera de raio r é aproximadamente um retângulo com lados r\,d\theta e r\sin\theta\,d\varphi. Portanto o elemento de área é
dA = r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Expliquei: um deslocamento em \theta muda a posição ao longo de uma meridiana por r\,d\theta; um deslocamento em \varphi desloca ao longo de um paralelo cujo raio é r\sin\theta, dando r\sin\theta\,d\varphi. O produto dá a área do retângulo diferencial.

Passo 4

Definindo ângulo sólido e calculando-o para a porção dada:
  • O elemento de ângulo sólido é definido por
d\Omega = \frac{dA}{r^{2}} = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Ou seja, o ângulo sólido não depende do raio r; é apenas a integral de \sin\theta sobre os ângulos.
  • Para a porção pedida, integra-se \varphi de \alpha a \beta e \theta de 0 a \pi:
\Omega=\int_{\varphi=\alpha}^{\beta}\int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.
Portanto
\Omega = \int_{\alpha}^{\beta} 2\,d\varphi = 2(\beta-\alpha).

Passo 5

Relação entre ângulo sólido e fluxo (justificando com a lei de Gauss, de forma didática):
  • A lei de Gauss diz (na forma que usamos aqui) que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada que envolve a carga \,Q\, é igual a \,Q\, (observação sobre unidades: na forma SI escrita completa aparece um fator 1/\varepsilon_{0}; o enunciado fornece a fórmula sem esse fator, então seguimos a mesma convenção notacional do enunciado — isso não altera a razão entre fluxos, apenas a constante global). Em símbolos:
\Phi_{\text{total}} = \text{fluxo sobre a esfera inteira} = Q.
  • Pelo raciocínio de simetria explicado no Passo 2, a distribuição do fluxo sobre a esfera é uniforme por unidade de ângulo sólido. Logo a fração do fluxo que atravessa a porção é exatamente a fração do ângulo sólido que essa porção subtende:
\Phi_{\text{porção}} = \frac{\Omega}{4\pi}\,\Phi_{\text{total}}.çã
Aqui 4\pi é o ângulo sólido total de uma esfera (em estereorradianos), pois para \alpha=0,\beta=2\pi temos \Omega=2(2\pi)=4\pi.

Passo 6

Substituir \Omega e \Phi_{\text{total}} nas fórmulas e simplificar:
  • Usando \Omega=2(\beta-\alpha) do Passo 4 e \Phi_{\text{total}}=Q do Passo 5,
\Phi_{E}=\frac{\Omega}{4\pi}\,Q = \frac{2(\beta-\alpha)}{4\pi}\,Q.
  • Simplificando o fator numérico:
\frac{2(\beta-\alpha)}{4\pi} = \frac{\beta-\alpha}{2\pi},
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\Phi_{E}=\frac{\beta-\alpha}{2\pi}\,Q.

Resposta

\displaystyle \Phi_{E}=\frac{\beta-\alpha}{2\pi}\,Q

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