Se uma carga total
está localizada na origem, prove que a expressão que calcula o fluxo de campo elétrico que atravessa a porção de uma esfera centrada na origem descrita por
é dado por
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Há uma carga total
localizada na origem (ou seja, um carregamento pontual centrado na esfera). - Consideramos uma esfera qualquer centrada na origem (o raio pode ser qualquer
). - Queremos o fluxo do campo elétrico que atravessa a porção dessa esfera definida pelo intervalo azimutal
. Implicitamente estamos tomando o ângulo polar cobrindo toda a esfera, ou seja . - A pergunta: mostrar que o fluxo através dessa porção é
Passo 2
Ideia geral (explicada de forma bem didática): o campo de uma carga puntiforme na origem é radial e, em uma esfera centrada na origem, o fluxo por unidade de ângulo sólido é uniforme. Portanto, o fluxo através de uma porção da superfície é proporcional ao ângulo sólido dessa porção. Em linguagem simples: se uma porção da esfera “vê” uma fração
do céu sólido total, ela recebe a fração
do fluxo total. A tarefa é (1) calcular o ângulo sólido
da porção dada por
e
, e (2) relacionar
com o fluxo total.
Passo 3
Explicando coordenadas esféricas e o elemento de área (passo técnico importante):
- Em coordenadas esféricas usamos o ângulo polar
com (medido a partir do eixo ) e o ângulo azimutal com . - Um pequeno elemento de superfície sobre a esfera de raio
é aproximadamente um retângulo com lados e . Portanto o elemento de área é
Expliquei: um deslocamento em
muda a posição ao longo de uma meridiana por
; um deslocamento em
desloca ao longo de um paralelo cujo raio é
, dando
. O produto dá a área do retângulo diferencial.
Passo 4
Definindo ângulo sólido e calculando-o para a porção dada:
- O elemento de ângulo sólido é definido por
Ou seja, o ângulo sólido não depende do raio
; é apenas a integral de
sobre os ângulos.
- Para a porção pedida, integra-se
de a e de a :
Calcule a integral em
:
Portanto
Passo 5
Relação entre ângulo sólido e fluxo (justificando com a lei de Gauss, de forma didática):
- A lei de Gauss diz (na forma que usamos aqui) que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada que envolve a carga
é igual a (observação sobre unidades: na forma SI escrita completa aparece um fator ; o enunciado fornece a fórmula sem esse fator, então seguimos a mesma convenção notacional do enunciado — isso não altera a razão entre fluxos, apenas a constante global). Em símbolos:
- Pelo raciocínio de simetria explicado no Passo 2, a distribuição do fluxo sobre a esfera é uniforme por unidade de ângulo sólido. Logo a fração do fluxo que atravessa a porção é exatamente a fração do ângulo sólido que essa porção subtende:
Aqui
é o ângulo sólido total de uma esfera (em estereorradianos), pois para
temos
.
Passo 6
Substituir
e
nas fórmulas e simplificar:
- Usando
do Passo 4 e do Passo 5,
- Simplificando o fator numérico:
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