No instante , o vetor posição de uma partícula, de massa , é dado por . Qual o valor do torque desta partícula que se movimenta no plano xy , neste instante?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de que se movimenta no plano XY. No instante de tempo , a posição dela é dada pelo vetor metros. A pergunta é: qual é o valor do torque dessa partícula nesse instante?
Para resolver isso, vamos precisar entender de mecânica clássica, especificamente sobre torque e movimento vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma medida de quanto uma força pode causar a rotação de um objeto em relação a um ponto. A fórmula do torque () é dada por:
onde é o vetor posição e é a força aplicada.
Passo 3
Mas aqui a questão não nos dá diretamente a força, mas sim a posição da partícula em função do tempo. Então, precisamos encontrar a força agindo na partícula. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz:
onde é a massa e é a aceleração da partícula.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a aceleração . Sabemos que a posição é função do tempo , então para achar a aceleração, precisamos derivar a posição duas vezes em relação ao tempo.
A posição é:
Vamos encontrar a primeira derivada para obter a velocidade :
Agora, a segunda derivada para achar a aceleração:
Passo 5
Agora que temos a aceleração, podemos calcular a força usando a segunda lei de Newton:
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Agora que temos o vetor força e o vetor posição no instante , podemos calcular o torque. Primeiro, vamos calcular substituindo na expressão da posição:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto vetorial para encontrar o torque:
Como os componentes k são zero, o determinante se reduz a:
tau = (0 - 0) i - (0 - 0) j + (9,8 times (-50,4) - (-8,1) times 164,64) k
Calculando:
tau = (-494, (mas com sinal trocado) + 1327,384 ) k = 833,784 k N cdot m
Resposta
O torque da partícula no instante t=1 s é aproximadamente 833,78 N cdot m na direção do eixo k.