No instante t=1 s, o vetor posição de uma partícula, de massa 8,4 kg, é dado por r=(9,8 t^2 i-(5,1 t+3,0 t^2) j m / s. Qual o valor do torque desta partícula que se movimenta no plano xy , neste instante?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa de 8,4 kg que se movimenta no plano XY. No instante de tempo t=1 s, a posição dela é dada pelo vetor r = (9,8 t^2 i - (5,1 t + 3,0 t^2) j) metros. A pergunta é: qual é o valor do torque dessa partícula nesse instante?
Para resolver isso, vamos precisar entender de mecânica clássica, especificamente sobre torque e movimento vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma medida de quanto uma força pode causar a rotação de um objeto em relação a um ponto. A fórmula do torque ( tau) é dada por:
tau = r times F
onde r é o vetor posição e F é a força aplicada.

Passo 3

Mas aqui a questão não nos dá diretamente a força, mas sim a posição da partícula em função do tempo. Então, precisamos encontrar a força agindo na partícula. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que diz:
F = m cdot a
onde m é a massa e a é a aceleração da partícula.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a aceleração a. Sabemos que a posição r é função do tempo t, então para achar a aceleração, precisamos derivar a posição duas vezes em relação ao tempo.
A posição é:
r(t) = (9,8 t^2 i - (5,1 t + 3,0 t^2) j)
Vamos encontrar a primeira derivada para obter a velocidade v(t):
v(t) = drdt = (19,6 t i - (5,1 + 6,0 t) j)
Agora, a segunda derivada para achar a aceleração:
a(t) = dvdt = (19,6 i - 6,0 j) m/s^2

Passo 5

Agora que temos a aceleração, podemos calcular a força usando a segunda lei de Newton:
F = m cdot a = 8,4 kg cdot (19,6 i - 6,0 j) m/s^2
Fazendo a multiplicação:
F = (8,4 times 19,6) i - (8,4 times 6,0) j = (164,64 i - 50,4 j) N

Passo 6

Agora que temos o vetor força F e o vetor posição r no instante t=1 s, podemos calcular o torque. Primeiro, vamos calcular r(1) substituindo t=1 na expressão da posição:
r(1) = (9,8 times 1^2 i - (5,1 times 1 + 3,0 times 1^2) j) = (9,8 i - 8,1 j) m

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial r times F para encontrar o torque:
tau = r times F = i & j & k 9,8 & -8,1 & 0 164,64 & -50,4 & 0
Como os componentes k são zero, o determinante se reduz a:
tau = (0 - 0) i - (0 - 0) j + (9,8 times (-50,4) - (-8,1) times 164,64) k
Calculando:
tau = (-494, (mas com sinal trocado) + 1327,384 ) k = 833,784 k N cdot m

Resposta

O torque da partícula no instante t=1 s é aproximadamente 833,78 N cdot m na direção do eixo k.

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