Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída sobre um disco não condutor de raio a. Considere um ponto P sobre o eixo do disco, a uma distância x do seu centro. Calcule o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico produzido em um ponto P sobre o eixo do disco, a uma distância x do seu centro.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico num ponto P localizado no eixo de um disco não condutor de raio a que carrega carga total positiva Q uniformemente distribuída. O conteúdo é integração de anéis elementares para calcular o campo no eixo de um disco carregado. Vamos precisar da densidade superficial sigma, do elemento de carga dq de um anel de raio r e da expressão do campo d E gerado por esse anel em P.

Passo 2

Primeiro, a densidade superficial é
sigma = Qpi a^2,
Considere um anel de raio r e espessura dr. A área desse anel é dA = 2pi r,dr, então sua carga é
dq = sigma,dA = sigma,(2pi r,dr),
O campo gerado por esse anel, no ponto P a distância x do centro, só tem componente ao longo do eixo, dada por
dE = 14pivarepsilon0,dq;,xl(x^2+r^2r)^3/2,

Passo 3

Substituindo dq em dE e extraindo constantes:
dE = 14pivarepsilon0,2pisigma,r,dr;xl(x^2+r^2r)^3/2 = sigma,x2varepsilon0;r,drl(x^2+r^2r)^3/2
Agora integramos r de 0 até a:
E = sigma,x2varepsilon0 integral0^ar,drl(x^2+r^2r)^3/2 = sigma2varepsilon0l[1 - xraizx^2+a^2r]

Passo 4

Substituindo sigma = Q/(pi a^2), obtemos o módulo do campo em P:
E = Q2pivarepsilon0,a^2,l(1 - xraizx^2+a^2r)
Como Q>0, o vetor campo aponta ao longo do eixo x, no sentido de afastar P do disco (sentido positivo de x).

Resposta

O campo elétrico em P é
boxedE = Q2pivarepsilon0,a^2,l(1 - xraizx^2+a^2r)
com direção ao longo do eixo do disco e sentido apontando para fora do disco (longe do plano do disco).

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