Uma carga positiva Q está uniformemente distribuída sobre um disco não condutor de raio a. Considere um ponto P sobre o eixo do disco, a uma distância x do seu centro. (a) Calcule o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto P. (c) Se a carga for trazida integralmente para o centro do disco, encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto P. (d) Por que o campo no item (a) é mais forte que o campo no item (c)?

Passo 1

O enunciado descreve um disco não condutor de raio a com carga total Q uniformemente distribuída sobre sua face, e pede o campo elétrico no ponto P que está sobre o eixo do disco, a uma distância x do centro. O conteúdo é cálculo de campo por integração de um elemento de carga, usando a densidade superficial
sigma = Qpi a^2
e a expressão do campo de um anel de raio r no eixo.

Passo 2

Escolhemos um elemento anelar de raio r e espessura dr. A carga desse anel é
dQ = sigmacdot 2pi r,dr
O campo gerado por esse anel, no ponto P, tem só componente ao longo do eixo (simetria cilíndrica), dada por
dEx = 14pivarepsilon0,dQ;,xl(x^2 + r^2r)^3/2 = 14pivarepsilon0,sigma,2pi r,dr;x(x^2+r^2)^3/2

Passo 3

Integramos r de 0 a a:
Ex = integral0^a sigma,x2varepsilon0,r,dr(x^2+r^2)^3/2 = sigma,x2varepsilon0,gl[-1raizx^2+r^2gr]0^a = sigma,x2varepsilon0l(1x-1raizx^2+a^2r)

Passo 4

Simplificando,
Ex = sigma2varepsilon0l(1-xraizx^2+a^2r)
Substituindo sigma=Q/(pi a^2),
Ex = Q2pivarepsilon0,a^2l(1-xraizx^2+a^2r)
Como Q>0, o campo aponta para longe do disco, ao longo do eixo (no sentido de aumento de x).

Passo 5

Quando toda a carga Q é concentrada no centro, temos um carregamento pontual. Nesse caso,
E = 14pivarepsilon0,Qx^2,
também apontando para longe do centro (sentido de aumento de x).

Passo 6

O campo no item (a) é mais forte que no (c) porque, na distribuição sobre o disco, parte da carga está em pontos mais próximos de P (por exemplo, na borda), o que gera contribuições maiores para o campo do que concentrar toda a carga a uma distância x.

Resposta

(a)
vec E = Q2pivarepsilon0,a^2l(1-xraizx^2+a^2r),hat x,
direção ao longo do eixo do disco, sentido de aumentar x.
(c)
vec E = 14pivarepsilon0,Qx^2,hat x,
direção ao longo do eixo, sentido de aumentar x.
(d) Porque, no disco, há carga mais próxima de P do que quando toda a carga está no centro, aumentando o campo resultante.

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