Uma carga puntiforme positiva \mathrm{q} 1=+\mathrm{q}, e uma carga puntiforme negativa \mathrm{q},=-2 \mathrm{q} estão localizadas no eixo x em \mathrm{x}=\mathrm{a} e em \mathrm{x}=-\mathrm{a}, respectivamente. Considere as seguintes regiões no eixo x : região I ( x <-a ), regiões l l(-a<x<+a) e região III ( x>a ). Em qual região, ou regiões há um ponto no qual o campo elétrico resultante é igual a zero?

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas puntiformes ao longo do eixo x: uma carga positiva q_1=+q em x=a e uma carga negativa q_2=-2q em x=-a. Precisamos determinar em quais das três regiões do eixo (I: x<-a, II: -a<x<a e III: x>a) existe um ponto onde o campo elétrico resultante \mathbf{E}(x) se anula. Para isso, vamos escrever a expressão escalar do campo elétrico no eixo x devido a cada carga e resolver \,E(x)=0 em cada região, levando em conta o sinal (direção) de cada contribuição.

Passo 2

Expressão geral do campo no eixo x:
cada carga gera
E_1(x)=k\,\frac{q}{(x-a)^2}\,\hat e_x\quad\text{(para \(q_1\) em \(x=a\), sentido “para fora” de \(q_1\))},
E_2(x)=k\,\frac{-2q}{(x+a)^2}\,\hat e_x\quad\text{(para \(q_2\) em \(x=-a\), sentido “para dentro” de \(q_2\))}.
O campo resultante escalar (tomando o sentido positivo para a direita) é
E(x)=kq\Bigl[\frac{\sigma_1}{(x-a)^2}+\frac{-2\,\sigma_2}{(x+a)^2}\Bigr],
onde \sigma_1 e \sigma_2 são sinais que dependem de x em relação a a e -a.

Passo 3

Região I x<-a:
  • Para q_1 +q, x-a<0 e o campo aponta para a esquerda \sigma_1=-1.
  • Para q_2 -2q, x+a<0 e o campo aponta para a direita \sigma_2=+1.
    A equação E(x)=0 fica
-\,\frac{1}{(x-a)^2}+2\,\frac{1}{(x+a)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\,(x-a)^2=(x+a)^2
\sqrt{2}\,(x-a)=\pm(x+a).
Tomando o sinal que leva a solução real, obtém-se x=(3+2\sqrt{2})\,a, mas isso não satisfaz x<-a. Logo, não há ponto de anulação em I.

Passo 4

Região II -a<x<a:
  • Para q_1, x-a<0 e E_1 aponta para a esquerda \sigma_1=-1.
  • Para q_2, x+a>0 e E_2 também aponta para a esquerda \sigma_2=-1.
    Ambas as contribuições têm mesmo sentido, somam-se negativamente e nunca podem se anular. Portanto, não há solução em II.

Passo 5

Região III x>a:
  • Para q_1, x-a>0 e E_1 aponta para a direita \sigma_1=+1.
  • Para q_2, x+a>0 e E_2 aponta para a esquerda \sigma_2=-1.
    A equação E(x)=0 é
\frac{1}{(x-a)^2}-2\,\frac{1}{(x+a)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x+a)^2=2\,(x-a)^2
x+a=\sqrt{2}\,(x-a) \quad\Longrightarrow\quad x=(3+2\sqrt{2})\,a,
que satisfaz x>a. Logo, existe exatamente um ponto de anulação em III, dado por x=(3+2\sqrt{2})\,a.

Resposta

A única região que contém um ponto onde o campo elétrico resultante é zero é a região III.

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