Um disco de 2,5 \mathrm{~cm} de raio possui uma densidade superficial de cargas de 5,3 \mathrm{mC} / \mathrm{m}^{2} na superfície superior. Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto sobre o eixo central a uma distância z=12 \mathrm{~cm} do centro do disco?

Passo 1

O enunciado dá um disco de raio R=2{,}5\\ \mathrm{cm} com densidade superficial de carga \sigma=5{,}3\\ \mathrm{mC/m^2} na face superior, e pede o módulo do campo elétrico num ponto sobre o eixo a z=12\\ \mathrm{cm} do centro. O conteúdo é eletrostática de superfícies carregadas: vamos usar a fórmula do campo de um disco uniformemente carregado ao longo de seu eixo.

Passo 2

Para obter o campo no eixo, pode-se imaginar o disco subdividido em anéis de raio r e espessura dr. O campo axial gerado por cada anel é
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,(2\pi r\,dr)\,z}{\bigl(z^2 + r^2\bigr)^{3/2}}
e integrando de r=0 até r=R resulta na expressão conhecida
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\Bigl(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr).

Passo 3

Vamos converter unidades e substituir: \sigma = 5{,}3\\ \mathrm{mC/m^2} = 5{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{C/m^2}, R = 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}, z = 12\\ \mathrm{cm} = 0{,}12\\ \mathrm{m}, \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Calculemos separadamente
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{5{,}3\times10^{-3}}{2\cdot8{,}85\times10^{-12}} \approx 2{,}994\times10^{8}\\ \mathrm{V/m},
\frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \frac{0{,}12}{\sqrt{0{,}12^2 + 0{,}025^2}} \approx 0{,}979.

Passo 4

Substituindo na fórmula do campo:
E = 2{,}994\times10^{8}\,\bigl(1 - 0{,}979\bigr) \approx 2{,}994\times10^{8}\times0{,}021 \approx 6{,}3\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto indicado é aproximadamente
E \approx 6{,}3\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

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