Um fio de cobre conduz uma corrente de 10 A uniformemente distribuída em sua seção reta. Calcule a densidade de energia do campo magnético na superfície do fio. O diâmetro do fio é 2,1 \mathrm{~mm}. Dê sua resposta \mathrm{em} \mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}.
(a) 0,45 \quad 0,82 \quad (c) 1,11 \quad (d) 1,44 \quad (e) 1,65 \quad (f) 1,92

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de raio a que conduz uma corrente constante I=10\:\mathrm{A} distribuída exatamente de forma uniforme na seção reta. Pede-se a densidade de energia do campo magnético na superfície do fio, ou seja, em r=a. Para resolver precisaremos de:
  1. A expressão do campo magnético B(r) de um fio longo pelo lado externo r\ge a, obtida pela Lei de Ampère.
  2. A fórmula da densidade de energia magnética
u=\frac{B^2}{2\mu_0}.
  1. O valor do raio a em metros: a=\tfrac{2{,}1\:\mathrm{mm}}{2}=1{,}05\times10^{-3}\:\mathrm{m}.

Passo 2

Pelo lado de fora do fio r\ge a, a Lei de Ampère nos dá
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{total}} \quad\Longrightarrow\quad B(r)\,2\pi r = \mu_0 I \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Em particular, na superfície r=a:
B(a)=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}.

Passo 3

A densidade de energia magnética vale
u=\frac{B^2}{2\mu_0}.
Substituindo B(a):
u =\frac{1}{2\mu_0}\biggl(\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\biggr)^{\!2} =\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 a^2}.

Passo 4

Agora colocamos \mu_0=4\pi\times10^{-7}\:\mathrm{H/m}, I=10\:\mathrm{A} e a=1{,}05\times10^{-3}\:\mathrm{m}:
u =\frac{(4\pi\times10^{-7})\,(10)^2}{8\pi^2\,(1{,}05\times10^{-3})^2} =\frac{4\pi\times10^{-5}}{8\pi^2\times1{,}1025\times10^{-6}}.

Passo 5

Simplificando:
u =\frac{4\pi}{8\pi^2}\cdot\frac{10^{-5}}{1{,}1025\times10^{-6}} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{10^{-5}}{1{,}1025\times10^{-6}} \approx1{,}44\:\mathrm{J/m^3}.

Resposta

(d) 1{,}44\:\mathrm{J/m^3}

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