Uma carga q está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R. Tome V = 0 no infinito. Determine (a) o potencial V para r (b) a diferença de potencial entre o ponto r=R e o ponto r=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma carga elétrica $ q $ distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera de raio $ R $. Precisamos encontrar:
a) O potencial elétrico $ V $ para pontos dentro da esfera, ou seja, onde a distância $ r $ do centro é menor que $ R $ ($ r < R $).
b) A diferença de potencial entre a superfície da esfera ($ r = R q r = 0 $).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga uniforme em uma esfera. Vamos precisar lembrar como calcular o potencial dentro e fora de uma distribuição esférica de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico $ V $ em um ponto no espaço devido a uma distribuição de carga é uma medida da energia potencial por unidade de carga nesse ponto. Para uma distribuição de carga esférica uniforme, o cálculo do potencial depende se estamos dentro ou fora da esfera.

Passo 3

Como a carga está uniformemente distribuída na esfera, a densidade de carga volumétrica $ \rho $ é dada por:
rho
Isso nos diz quanta carga há por unidade de volume na esfera.

Passo 4

Para encontrar o potencial $ V $ dentro da esfera ($ r < R $), precisamos considerar a contribuição de todas as cargas dentro e fora de uma esfera de raio $ r $. No entanto, devido à simetria esférica, as cargas fora de $ r $ não contribuem para o potencial interno. Assim, apenas a carga contida dentro do raio $ r $ afeta o potencial nesse ponto.

Passo 5

A carga dentro de um raio $ r < R $ é:
r < R

Passo 6

O potencial elétrico devido a essa carga interna a uma distância $ r $ do centro é:
r

Passo 7

Portanto, o potencial $ V $ para $ r < R $ é:
V

Passo 8

Agora, para encontrar a diferença de potencial entre a superfície da esfera ($ r = R r = R r = 0 $), vamos calcular $ V® - V(0) $.
Primeiro, calculamos $ V® $:
r = 0
E $ V(0) $:
V(R) - V(0)

Passo 9

A diferença de potencial $ \Delta V $ é então:
De

Resposta

a) O potencial elétrico para $ r < R $ é $ V® = \dfrac{q r^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 R^{3}} $.
b) A diferença de potencial entre $ r = R $ e $ r = 0 $ é $ \Delta V = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R} $.

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