Uma carga Q está uniformemente distribuída num volume esférico de raio R. Mostre, a partir do campo elétrico, que:
(a) o potencial a uma distância genérica r do centro, com r <= R, é dado por r=0;
(b) em particular no centro V(0)=3 Q / 8 pi varepsilon0 R, o potencial NÃO é zero, mas vale r=infty, uma vez que o zero do potencial é o ponto .

Passo 1

Temos uma carga total Q distribuída uniformemente num volume esférico de raio R. O conteúdo aqui é campo elétrico e potencial elétrico, e vamos precisar da Lei de Gauss para achar E® e então usar a relação entre campo e potencial para obter V®.

Passo 2

A densidade volumétrica de carga é rho=tfracQtfrac43pi R^3. Para um ponto interno ( r<= R), a carga contida em uma esfera de raio r é Qrm int=rho,tfrac43pi r^3=Q,tfracr^3R^3. Aplicando a Lei de Gauss, o módulo do campo elétrico interno é
E(r)=Qrm int4pivarepsilon0,r^2=Q,r^3R^314pivarepsilon0,r^2=Q,r4pivarepsilon0,R^3

Passo 3

Para achar o potencial, usamos
V(r)-V(infty)=-integralinfty^rE(r'),dr'
Como V(infty)=0, separamos a integral em dois trechos: de infty a R (fora da esfera) com E(r')=Q/(4pivarepsilon0r'^2), e de R a r (dentro) com E(r')=Qr'/(4pivarepsilon0R^3). Fazendo as integrais, obtemos
V(r)=Q4pivarepsilon0R-Q4pivarepsilon0R^3integralR^rr',dr'=Q4pivarepsilon0R-Q8pivarepsilon0R^3l(r^2-R^2r)

Passo 4

Combinar termos leva a
V(r)=Ql(3R^2-r^2r)8pivarepsilon0R^3

Passo 5

Para o caso especial r=0, substituímos na expressão e achamos
V(0)=Q,3R^28pivarepsilon0R^3=3Q8pivarepsilon0R,
mostrando que o potencial no centro não é zero quando o referencial de potencial é V(infty)=0.

Resposta

Para r<= R:
V(r)=Ql(3R^2-r^2r)8pivarepsilon0R^3
Em particular, no centro r=0:
V(0)=3Q8pivarepsilon0R

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