Considere duas esferas condutoras 1 e 2 de raios
e
bem distantes. Inicialmente a primeira tem carga Q e a segunda está descarregada.Depois de serem conectadas com um fio metálico, calcule: (a) os potenciais finais
e
e as correspondentes cargas
e
como funções de Q e (b) a razão das densidades superficiais de carga das esferas.
Passo 1
A primeira coisa é entender o enunciado: temos duas esferas condutoras muito distantes, com raios r₁ e r₂=2r₁. Inicialmente a esfera 1 tem carga Q e a 2 está descarregada. Conectando-as por fio, vão trocar carga até ficarem no mesmo potencial. Precisamos achar os potenciais finais V₁=V₂, as cargas Q₁ e Q₂ e depois a razão das densidades superficiais.
Passo 2
Cada esfera isolada tem capacitância (em relação ao infinito) C=4πε₀r. Logo C₁=4πε₀r₁ e C₂=4πε₀r₂.
Passo 3
Na conexão, o potencial final em ambas é igual:
. Como
e a carga total se conserva,
.
Passo 4
Das condições
e
segue que
Passo 5
Substituindo r₂=2r₁ dá C₂=2C₁ e C₁+C₂=3C₁. Então
Passo 6
O potencial comum vale
Passo 7
A densidade de carga em cada superfície é
. Assim a razão é
Resposta
(a)
(b)