Considere duas esferas condutoras 1 e 2 de raios r1 e r2=2 r1 bem distantes. Inicialmente a primeira tem carga Q e a segunda está descarregada.Depois de serem conectadas com um fio metálico, calcule: (a) os potenciais finais V1 e V2 e as correspondentes cargas Q1 e Q2 como funções de Q e (b) a razão das densidades superficiais de carga das esferas.

Passo 1

A primeira coisa é entender o enunciado: temos duas esferas condutoras muito distantes, com raios r₁ e r₂=2r₁. Inicialmente a esfera 1 tem carga Q e a 2 está descarregada. Conectando-as por fio, vão trocar carga até ficarem no mesmo potencial. Precisamos achar os potenciais finais V₁=V₂, as cargas Q₁ e Q₂ e depois a razão das densidades superficiais.

Passo 2

Cada esfera isolada tem capacitância (em relação ao infinito) C=4πε₀r. Logo C₁=4πε₀r₁ e C₂=4πε₀r₂.

Passo 3

Na conexão, o potencial final em ambas é igual: V1=V2=V. Como Vi=Qi/Ci e a carga total se conserva, Q1+Q2=Q.

Passo 4

Das condições Q1/C1=Q2/C2 e Q1+Q2=Q segue que
Q1=C1C1+C2,Q, Q2=C2C1+C2,Q

Passo 5

Substituindo r₂=2r₁ dá C₂=2C₁ e C₁+C₂=3C₁. Então
Q1=13Q, Q2=23Q

Passo 6

O potencial comum vale
V=Q1C1=tfrac13Q4πε₀r1=Q12πε₀r1

Passo 7

A densidade de carga em cada superfície é σi=Qi/(4πri^2). Assim a razão é
σ1σ2=Q1/Q2(r1/r2)^2=1/2(1/2)^2=2

Resposta

(a) V1=V2=dfracQ12piε₀r1, Q1=dfracQ3, Q2=dfrac2Q3 (b) σ1/σ2=2

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