A carga de ruptura de cabos de aço de 8 mm usados em guinchos e produzidos por uma certa Companhia segue distribuição Normal com média de 2210kg e desvio padrão de 25 kg . Um cabo com carga de ruptura de pelo menos 2180 kg é dito conforme; com carga de ruptura entre 2130 e 2180 kg é classificado como comercializável; e com carga de ruptura inferior a 2130 kg é considerado descartável. Um cabo conforme gera lucro de
; um cabo comercializável gera lucro de
; e um cabo descartável gera um prejuízo de
(isto é, um lucro de
). Seja
a v.a. que designa o lucro em um cabo de ruptura.
Obtenha a função de probabilidade de
.
Obtenha a função de probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a carga de ruptura de cabos de aço que segue uma distribuição Normal. A gente tem a média (2210 kg) e o desvio padrão (25 kg) dessa distribuição. Dependendo da carga de ruptura, o cabo pode ser classificado como conforme, comercializável ou descartável, cada uma com um lucro ou prejuízo diferente. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade da variável aleatória $ Y $, que representa o lucro por cabo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as categorias de classificação:
- Conforme: carga de ruptura ≥ 2180 kg, gera um lucro de R$30.
- Comercializável: carga de ruptura entre 2130 kg e 2180 kg, gera um lucro de R$10.
- Descartável: carga de ruptura < 2130 kg, gera um prejuízo de R$10 (ou seja, lucro de -R$10).
Passo 3
A variável aleatória $ Y $ pode assumir três valores: 30, 10 e -10, com probabilidades correspondentes a cada categoria de carga de ruptura. Para encontrar essas probabilidades, vamos usar a distribuição Normal com média $ \mu = 2210 $ kg e desvio padrão $ \sigma = 25 $ kg.
Passo 4
Vamos calcular cada probabilidade separadamente:
- P(Y = 30): Probabilidade de o cabo ser conforme, ou seja, $ X \geq 2180 $ kg.
- P(Y = 10): Probabilidade de o cabo ser comercializável, ou seja, $ 2130 \leq X < 2180 $ kg.
- P(Y = -10): Probabilidade de o cabo ser descartável, ou seja, $ X < 2130 $ kg.
Passo 5
Para calcular essas probabilidades, vamos padronizar os valores usando a fórmula do escore z:
Onde $ X $ é o valor da carga de ruptura.
Passo 6
Vamos calcular os escores z para cada limite:
- Para 2180 kg:
- Para 2130 kg:
Passo 7
Agora, usamos a tabela da distribuição Normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores z.
- P(X \geq 2180):
- P(2130 \leq X < 2180):
- P(X < 2130):
Passo 8
Agora, já temos as probabilidades para cada valor de $ Y $:
- $ P(Y = 30) = 0.8849 $
- $ P(Y = 10) = 0.1144 $
- $ P(Y = -10) = 0.0007 $
Resposta
A função de probabilidade de $ Y $ é dada por: