Seja
uma variável aleatória do tipo número de sucessos em n ensaios de Bernoulli, cada qual com probabilidade
, isto é,
.
Prove que a v.a.
(o número de fracassos em
ensaios de Bernoulli, cada qual com probabilidade de sucesso
) tem distribuição binomial de parâmetros
e
.
Prove que a v.a.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre distribuição binomial. Temos uma variável aleatória
que representa o número de sucessos em
ensaios de Bernoulli, onde cada ensaio tem uma probabilidade
de sucesso. Queremos provar que a variável
, que conta o número de fracassos, também segue uma distribuição binomial, mas com probabilidade de fracasso
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma distribuição binomial. Uma variável aleatória segue a distribuição binomial
se ela conta o número de sucessos em
ensaios independentes, onde cada ensaio tem a mesma probabilidade
de sucesso. A função de probabilidade é dada por:
para
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distribuição de
. Isso significa que se
é o número de sucessos,
é o número de fracassos em
ensaios. Vamos expressar a probabilidade de
:
Passo 4
Usando a fórmula da distribuição binomial para
, substituímos
por
:
Passo 5
Sabemos que
, pois escolher
itens de
é o mesmo que escolher
itens para deixar de fora. Então, a equação fica:
Passo 6
Rearranjando os termos, temos:
Isso mostra que
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
.
Resposta
Portanto, a variável aleatória
segue uma distribuição binomial
.