Seja X uma variável aleatória do tipo número de sucessos em n ensaios de Bernoulli, cada qual com probabilidade p, isto é, X sim Bin(n ; p).
Prove que a v.a. Y=n-X (o número de fracassos em n ensaios de Bernoulli, cada qual com probabilidade de sucesso p ) tem distribuição binomial de parâmetros n e q=1-p.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre distribuição binomial. Temos uma variável aleatória X que representa o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli, onde cada ensaio tem uma probabilidade p de sucesso. Queremos provar que a variável Y = n - X, que conta o número de fracassos, também segue uma distribuição binomial, mas com probabilidade de fracasso q = 1 - p.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma distribuição binomial. Uma variável aleatória segue a distribuição binomial Bin(n, p) se ela conta o número de sucessos em n ensaios independentes, onde cada ensaio tem a mesma probabilidade p de sucesso. A função de probabilidade é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
para k = 0, 1, 2, dots, n.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distribuição de Y = n - X. Isso significa que se X é o número de sucessos, Y é o número de fracassos em n ensaios. Vamos expressar a probabilidade de Y = k:
P(Y = k) = P(n - X = k) = P(X = n - k)

Passo 4

Usando a fórmula da distribuição binomial para X, substituímos k por n - k:
P(X = n - k) = binomnn - k p^n - k (1 - p)^k

Passo 5

Sabemos que binomnn - k = binomnk, pois escolher n - k itens de n é o mesmo que escolher k itens para deixar de fora. Então, a equação fica:
P(Y = k) = binomnk p^n - k (1 - p)^k

Passo 6

Rearranjando os termos, temos:
P(Y = k) = binomnk (1 - p)^k p^n - k
Isso mostra que Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n e q = 1 - p.

Resposta

Portanto, a variável aleatória Y = n - X segue uma distribuição binomial Bin(n, 1 - p).

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