Seja X uma variável aleatória com distribuição de Pascal de parâmetros r=5 e p=0,80. Defina a v.a. Y=X-5 (o número de fracassos até o quinto sucesso).
Obtenha a função de probabilidade de Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue a distribuição de Pascal com parâmetros $ r = 5 $ e $ p = 0,80 $. O que isso significa é que $ X $ representa o número de tentativas necessárias para conseguir 5 sucessos, onde cada tentativa tem 80% de chance de dar certo. Agora, a gente definiu uma nova variável aleatória $ Y = X - 5 $, que representa o número de fracassos até o quinto sucesso. Nosso objetivo é descobrir qual é a função de probabilidade de $ Y $, ou seja, como calcular a chance de ter exatamente $ k $ fracassos antes de alcançar os 5 sucessos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a relação entre $ X $ e $ Y $. Sabemos que $ Y = X - 5 $, então $ Y $ conta quantas tentativas foram fraudes (fracassos) antes de alcançar os 5 sucessos. Ou seja, se $ Y = k $, então tivemos $ k $ fracassos e 5 sucessos, totalizando $ X = k + 5 $ tentativas.

Passo 3

A distribuição de Pascal (ou binomial negativa) nos dá a probabilidade de precisar de $ x $ tentativas para obter $ r $ sucessos, com a fórmula:
x
Onde:
  • $ \binom{x-1}{r-1} $ é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • $ x $ é o número total de tentativas.

Passo 4

Queremos a função de probabilidade de $ Y $. Como $ Y = X - 5 $, substituímos $ X $ por $ Y + 5 $ na fórmula da distribuição de Pascal:
Y
Simplificando:
Y = X - 5

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que $ p = 0,80 $ e $ 1 - p = 0,20 $. Então, substituindo esses valores na equação:
p = 0,80
Essa é a função de probabilidade de $ Y $, que nos dá a chance de ter exatamente $ k $ fracassos antes de alcançar os 5 sucessos.

Resposta

A função de probabilidade de $ Y $ é:
Y

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