Seja
uma variável aleatória com distribuição de Pascal de parâmetros
e
. Defina a v.a.
(o número de fracassos até o quinto sucesso).
Obtenha a função de probabilidade de
.
Obtenha a função de probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue a distribuição de Pascal com parâmetros $ r = 5 $ e $ p = 0,80 $. O que isso significa é que $ X $ representa o número de tentativas necessárias para conseguir 5 sucessos, onde cada tentativa tem 80% de chance de dar certo. Agora, a gente definiu uma nova variável aleatória $ Y = X - 5 $, que representa o número de fracassos até o quinto sucesso. Nosso objetivo é descobrir qual é a função de probabilidade de $ Y $, ou seja, como calcular a chance de ter exatamente $ k $ fracassos antes de alcançar os 5 sucessos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a relação entre $ X $ e $ Y $. Sabemos que $ Y = X - 5 $, então $ Y $ conta quantas tentativas foram fraudes (fracassos) antes de alcançar os 5 sucessos. Ou seja, se $ Y = k $, então tivemos $ k $ fracassos e 5 sucessos, totalizando $ X = k + 5 $ tentativas.
Passo 3
A distribuição de Pascal (ou binomial negativa) nos dá a probabilidade de precisar de $ x $ tentativas para obter $ r $ sucessos, com a fórmula:
Onde:
- $ \binom{x-1}{r-1} $ é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
- $ x $ é o número total de tentativas.
Passo 4
Queremos a função de probabilidade de $ Y $. Como $ Y = X - 5 $, substituímos $ X $ por $ Y + 5 $ na fórmula da distribuição de Pascal:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que $ p = 0,80 $ e $ 1 - p = 0,20 $. Então, substituindo esses valores na equação:
Essa é a função de probabilidade de $ Y $, que nos dá a chance de ter exatamente $ k $ fracassos antes de alcançar os 5 sucessos.
Resposta
A função de probabilidade de $ Y $ é: