Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (0 ; 1).
Obtenha o valor esperado da variável aleatória W=e^X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor esperado da variável aleatória $ W = e^{X} $, onde $ X $ segue uma distribuição uniforme no intervalo $ (0; 1) $. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre valor esperado e distribuição uniforme. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o valor esperado de uma função de uma variável aleatória contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. O valor esperado $ E[W] $ de uma variável aleatória $ W $ é como a média ponderada de todos os possíveis valores que $ W $ pode assumir, considerando suas probabilidades.

Passo 3

Como $ W = e^{X} $ e $ X $ tem distribuição uniforme no intervalo $ (0; 1) $, a função densidade de probabilidade de $ X $ é constante nesse intervalo. Ou seja, $ f_X(x) = 1 $ para $ 0 \leq x \leq 1 $.

Passo 4

Para calcular $ E[W] = E[e^{X}] $, usamos a fórmula do valor esperado para variáveis contínuas:
E[W] = E[e^X]
Como $ f_X(x) = 1 $, simplificamos para:
E[e^X] = integral0^1 e^x cdot fX(x) , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é $ e^{x} $. Avaliando entre 0 e 1:
e^x

Resposta

O valor esperado de $ W = e^{X} $ é $ e - 1 $.

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