A carga de ruptura de cabos de aço de 8 mm usados em guinchos e produzidos por uma certa Companhia segue distribuição Normal com média de 2210kg e desvio padrão de 25 kg . Um cabo com carga de ruptura de pelo menos 2180 kg é dito conforme; com carga de ruptura entre 2130 e 2180 kg é classificado como comercializável; e com carga de ruptura inferior a 2130 kg é considerado descartável. Um cabo conforme gera lucro de
; um cabo comercializável gera lucro de
; e um cabo descartável gera um prejuízo de
(isto é, um lucro de
). Seja
a v.a. que designa o lucro em um cabo de ruptura.
Para um cabo vendido, qual o lucro esperado?
Para um cabo vendido, qual o lucro esperado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo cabos de aço com carga de ruptura que segue uma distribuição Normal. A média dessa carga é de 2210 kg e o desvio padrão é de 25 kg. Dependendo de como essa carga se comporta, o cabo pode gerar diferentes lucros:
- Conforme: carga ≥ 2180 kg → Lucro de R$30
- Comercializável: 2130 kg ≤ carga < 2180 kg → Lucro de R$10
- Descartável: carga < 2130 kg → Prejuízo de R$10
Queremos descobrir qual é o lucro esperado na venda de um cabo. Para isso, vamos precisar calcular as probabilidades de cada situação acontecer e, depois, usar essas probabilidades para achar o valor esperado do lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição Normal. Sabemos que ela é simétrica e determinada pela média (μ) e pelo desvio padrão (σ). No nosso caso:
- Média (μ) = 2210 kg
- Desvio Padrão (σ) = 25 kg
Queremos encontrar as probabilidades de um cabo cair em cada uma das três categorias:
- Conforme: carga ≥ 2180 kg
- Comercializável: 2130 kg ≤ carga < 2180 kg
- Descartável: carga < 2130 kg
Vamos usar a transformação Z para calcular essas probabilidades. A fórmula é:
Onde:
- $ X $ é o valor da carga de ruptura
- $ \mu $ é a média
- $ \sigma $ é o desvio padrão
Passo 3
Vamos calcular os valores de Z para os limites das categorias:
- Para 2180 kg:
- Para 2130 kg:
Agora, usamos a tabela da distribuição Normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes:
- Probabilidade de ser Conforme (Z ≥ -1,2):
- Probabilidade de ser Comercializável (-3,2 ≤ Z < -1,2):
- Probabilidade de ser Descartável (Z < -3,2):
Passo 4
Agora que temos as probabilidades de cada categoria, vamos calcular o lucro esperado $ E(Y) $:
Vamos resolver cada parte:
- Lucro de cabos Conforme:
- Lucro de cabos Comercializáveis:
- Prejuízo de cabos Descartáveis:
Somando tudo:
Resposta
O lucro esperado na venda de um cabo é de aproximadamente R$ 27,68.