A carga de ruptura de cabos de aço de 8 mm usados em guinchos e produzidos por uma certa Companhia segue distribuição Normal com média de 2210kg e desvio padrão de 25 kg . Um cabo com carga de ruptura de pelo menos 2180 kg é dito conforme; com carga de ruptura entre 2130 e 2180 kg é classificado como comercializável; e com carga de ruptura inferior a 2130 kg é considerado descartável. Um cabo conforme gera lucro de R ; um cabo comercializável gera lucro de ; um cabo comercializável >=ra lucro de ; e um cabo descartável gera um prejuízo de 10 (isto é, um lucro de R ). Seja (isto é, um lucro de a v.a. que designa o lucro em um cabo de ruptura.
Para um cabo vendido, qual o lucro esperado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo cabos de aço com carga de ruptura que segue uma distribuição Normal. A média dessa carga é de 2210 kg e o desvio padrão é de 25 kg. Dependendo de como essa carga se comporta, o cabo pode gerar diferentes lucros:
  • Conforme: carga ≥ 2180 kg → Lucro de R$30
  • Comercializável: 2130 kg ≤ carga < 2180 kg → Lucro de R$10
  • Descartável: carga < 2130 kg → Prejuízo de R$10
Queremos descobrir qual é o lucro esperado na venda de um cabo. Para isso, vamos precisar calcular as probabilidades de cada situação acontecer e, depois, usar essas probabilidades para achar o valor esperado do lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição Normal. Sabemos que ela é simétrica e determinada pela média (μ) e pelo desvio padrão (σ). No nosso caso:
  • Média (μ) = 2210 kg
  • Desvio Padrão (σ) = 25 kg
Queremos encontrar as probabilidades de um cabo cair em cada uma das três categorias:
  1. Conforme: carga ≥ 2180 kg
  2. Comercializável: 2130 kg ≤ carga < 2180 kg
  3. Descartável: carga < 2130 kg
Vamos usar a transformação Z para calcular essas probabilidades. A fórmula é:
Z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor da carga de ruptura
  • $ \mu $ é a média
  • $ \sigma $ é o desvio padrão

Passo 3

Vamos calcular os valores de Z para os limites das categorias:
  1. Para 2180 kg:
Z = 2180 - 221025 = -3025 = -1,2
  1. Para 2130 kg:
Z = 2130 - 221025 = -8025 = -3,2
Agora, usamos a tabela da distribuição Normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes:
  1. Probabilidade de ser Conforme (Z ≥ -1,2):
P(Z >= -1,2) approx 0,88493
  1. Probabilidade de ser Comercializável (-3,2 ≤ Z < -1,2):
P(-3,2 <= Z < -1,2) = P(Z < -1,2) - P(Z < -3,2) approx 0,11507 - 0,00069 = 0,11438
  1. Probabilidade de ser Descartável (Z < -3,2):
P(Z < -3,2) approx 0,00069

Passo 4

Agora que temos as probabilidades de cada categoria, vamos calcular o lucro esperado $ E(Y) $:
E(Y)
Vamos resolver cada parte:
  1. Lucro de cabos Conforme:
E(Y) = (30 times 0,88493) + (10 times 0,11438) + (-10 times 0,00069)
  1. Lucro de cabos Comercializáveis:
30 times 0,88493 approx 26,5479
  1. Prejuízo de cabos Descartáveis:
10 times 0,11438 approx 1,1438
Somando tudo:
-10 times 0,00069 approx -0,0069

Resposta

O lucro esperado na venda de um cabo é de aproximadamente R$ 27,68.

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