Dizemos que uma variável aleatória contínua X tem distribuição Beta de parâmetros alpha e beta se e somente se sua densidade é dada por
fX(x)=cl Gamma(alpha+beta)Gamma(alpha) Gamma(beta) x^alpha-1(1-x)^beta-1 & , se 0á
onde Gamma(k)=(k-1) ! quando k é um número inteiro. Suponha X uma variável aleatória com distribuição Beta de parâmetros alpha=1 e beta=3.
Obtenha a densidade da variável aleatória Y=1-X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ que segue uma distribuição Beta com parâmetros $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 3 $. Nosso objetivo é encontrar a densidade da nova variável aleatória $ Y = 1 - X $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição Beta. A densidade da variável $ X $ é dada por:
X
onde $ \Gamma(k) = (k-1)! $ para números inteiros. Com $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 3 $, podemos simplificar essa expressão.

Passo 3

Calculando os valores de $ \Gamma $:
Gamma
Gamma(1+3) = Gamma(4) = 3! = 6
Gamma(1) = 1
Substituindo na fórmula da densidade:
Gamma(3) = 2! = 2
para $ 0 < x < 1 $.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a densidade de $ Y = 1 - X $. Para isso, usamos a técnica de transformação de variáveis. A fórmula geral para a transformação é:
Y = 1 - X
Calculando a derivada:
fY(y) = fX(1 - y) times | ddy(1 - y) |
Então:
ddy(1 - y) = -1 Rightarrow | -1 | = 1
para $ 0 < y < 1 $.

Resposta

A densidade da variável $ Y = 1 - X $ é:
Y = 1 - X

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