Dizemos que uma variável aleatória contínua
tem distribuição Beta de parâmetros
e
se e somente se sua densidade é dada por
onde
! quando
é um número inteiro. Suponha
uma variável aleatória com distribuição Beta de parâmetros
e
.
Obtenha a densidade da variável aleatória
.
Obtenha a densidade da variável aleatória
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ que segue uma distribuição Beta com parâmetros $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 3 $. Nosso objetivo é encontrar a densidade da nova variável aleatória $ Y = 1 - X $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição Beta. A densidade da variável $ X $ é dada por:
onde $ \Gamma(k) = (k-1)! $ para números inteiros. Com $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 3 $, podemos simplificar essa expressão.
Passo 3
Calculando os valores de $ \Gamma $:
Substituindo na fórmula da densidade:
para $ 0 < x < 1 $.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a densidade de $ Y = 1 - X $. Para isso, usamos a técnica de transformação de variáveis. A fórmula geral para a transformação é:
Calculando a derivada:
Então:
para $ 0 < y < 1 $.
Resposta
A densidade da variável $ Y = 1 - X $ é: