A duração (em horas) de lâmpadas de determinada marca segue distribuição exponencial de parâmetro lambda=0,001. Um vendedor faz uma promoção na qual devolve 5 reais ao cliente se a lâmpada vendida durar menos de 180 horas, e bonifica o cliente em 2 reais se a lâmpada durar pelo menos 180 horas. Seja a v.a. Y: valor devolvido a um cliente.
Obtenha E[Y]. Se o vendedor vende 100 lâmpadas, espera-se que ele tenha que gastar em torno de quantos reais em reembolso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a duração das lâmpadas que segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 0,001. A gente precisa calcular o valor esperado de Y, que é o valor que o vendedor vai reembolsar ou bonificar o cliente, dependendo de quanto a lâmpada dura. Depois, vamos ver quanto o vendedor vai gastar em reembolsos se vender 100 lâmpadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente propriedades da distribuição exponencial e cálculo de valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. A função de densidade de probabilidade é dada por:
f(t) = lambda e^-lambda t, t >= 0
Aqui, lambda = 0,001 representa a taxa de falha das lâmpadas por hora.

Passo 3

Agora, vamos definir o que acontece com Y:
  • Se a lâmpada durar menos de 180 horas, o vendedor devolve R$5. Então, 5** Então, .
  • Se a lâmpada durar 180 horas ou mais, o vendedor bonifica com R$2. Então, - Se a lâmpada durar **180 horas ou mais**, o vendedor **bonifica com R (já que é um gasto para o vendedor).

Passo 4

Para calcular o valor esperado E[Y], precisamos encontrar a probabilidade de cada cenário:
  1. Probabilidade de durar menos de 180 horas:
    P(T < 180) = 1 - e^-lambda times 180 = 1 - e^-0,001 times 180
  2. Probabilidade de durar 180 horas ou mais:
    P(T >= 180) = e^-lambda times 180 = e^-0,001 times 180

Passo 5

Vamos calcular essas probabilidades:
  1. Calculando P(T < 180):
    P(T < 180) = 1 - e^-0,001 times 180 = 1 - e^-0,18 approx 1 - 0,8353 = 0,1647
  2. Calculando P(T >= 180):
    P(T >= 180) = e^-0,001 times 180 = e^-0,18 approx 0,8353

Passo 6

Agora, calculamos o valor esperado E[Y] usando a fórmula:
E[Y] = (Valor times Probabilidade)
Então:
E[Y] = 5 times P(T < 180) + (-2) times P(T >= 180)
Substituindo as probabilidades:
E[Y] = 5 times 0,1647 + (-2) times 0,8353

Passo 7

Vamos resolver os cálculos:
E[Y] = 5 times 0,1647 = 0,8235
-2 times 0,8353 = -1,6706
Então:
E[Y] = 0,8235 - 1,6706 = -0,8471

Passo 8

O valor esperado E[Y] = -0,8471 significa que, em média, o vendedor gasta R$0,84 por cada lâmpada vendida.

Resposta

O valor esperado E[Y] é aproximadamente -R$0,85 por lâmpada. Assim, se o vendedor vender 100 lâmpadas, ele espera gastar cerca de R$85 em reembolsos.

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