A duração (em horas) de lâmpadas de determinada marca segue distribuição exponencial de parâmetro
. Um vendedor faz uma promoção na qual devolve 5 reais ao cliente se a lâmpada vendida durar menos de 180 horas, e bonifica o cliente em 2 reais se a lâmpada durar pelo menos 180 horas. Seja a v.a.
: valor devolvido a um cliente.
Obtenha
. Se o vendedor vende 100 lâmpadas, espera-se que ele tenha que gastar em torno de quantos reais em reembolso?
Obtenha
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a duração das lâmpadas que segue uma distribuição exponencial com parâmetro
. A gente precisa calcular o valor esperado de
, que é o valor que o vendedor vai reembolsar ou bonificar o cliente, dependendo de quanto a lâmpada dura. Depois, vamos ver quanto o vendedor vai gastar em reembolsos se vender 100 lâmpadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente propriedades da distribuição exponencial e cálculo de valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente. A função de densidade de probabilidade é dada por:
Aqui,
representa a taxa de falha das lâmpadas por hora.
Passo 3
Agora, vamos definir o que acontece com
:
- Se a lâmpada durar menos de 180 horas, o vendedor devolve R$5. Então,
. - Se a lâmpada durar 180 horas ou mais, o vendedor bonifica com R$2. Então,
(já que é um gasto para o vendedor).
Passo 4
Para calcular o valor esperado
, precisamos encontrar a probabilidade de cada cenário:
-
Probabilidade de durar menos de 180 horas:
-
Probabilidade de durar 180 horas ou mais:
Passo 5
Vamos calcular essas probabilidades:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Passo 6
Agora, calculamos o valor esperado
usando a fórmula:
Então:
Substituindo as probabilidades:
Passo 7
Vamos resolver os cálculos:
Então:
Passo 8
O valor esperado
significa que, em média, o vendedor gasta R$0,84 por cada lâmpada vendida.
Resposta
O valor esperado
é aproximadamente -R$0,85 por lâmpada. Assim, se o vendedor vender 100 lâmpadas, ele espera gastar cerca de R$85 em reembolsos.