A duração (em horas) de lâmpadas de determinada marca segue distribuição exponencial de parâmetro
. Um vendedor faz uma promoção na qual devolve 5 reais ao cliente se a lâmpada vendida durar menos de 180 horas, e bonifica o cliente em 2 reais se a lâmpada durar pelo menos 180 horas. Seja a v.a.
: valor devolvido a um cliente.
Obtenha a função de probabilidade de
.
Obtenha a função de probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos lâmpadas cuja duração segue uma distribuição exponencial com parâmetro
. O vendedor está fazendo uma promoção: se a lâmpada durar menos de 180 horas, o cliente recebe 5 reais de volta, e se durar pelo menos 180 horas, ele ganha 2 reais. Queremos descobrir a função de probabilidade da variável aleatória
, que representa o valor devolvido ao cliente. Para isso, vamos precisar entender a distribuição exponencial e como calcular probabilidades para intervalos específicos dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição exponencial. É uma distribuição contínua que modela o tempo entre eventos em um processo que ocorre continuamente e independentemente. A função de densidade da distribuição exponencial é dada por:
onde
é a taxa de ocorrência.
Passo 3
Nosso próximo passo é calcular as probabilidades dos dois cenários da promoção:
- A lâmpada dura menos de 180 horas: Queremos
. - A lâmpada dura pelo menos 180 horas: Queremos
.
Vamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial, que é:
Passo 4
Calculando a probabilidade de a lâmpada durar menos de 180 horas:
Usando uma calculadora,
, então:
Passo 5
Agora, calculando a probabilidade de a lâmpada durar pelo menos 180 horas:
Passo 6
Com essas probabilidades, podemos definir a função de probabilidade da variável aleatória
. Como
pode assumir dois valores — 5 reais ou 2 reais — temos:
-
com probabilidade -
com probabilidade
Resposta
A função de probabilidade de
é dada por: