A duração (em horas) de lâmpadas de determinada marca segue distribuição exponencial de parâmetro lambda=0,001. Um vendedor faz uma promoção na qual devolve 5 reais ao cliente se a lâmpada vendida durar menos de 180 horas, e bonifica o cliente em 2 reais se a lâmpada durar pelo menos 180 horas. Seja a v.a. Y: valor devolvido a um cliente.
Obtenha a função de probabilidade de Y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos lâmpadas cuja duração segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 0,001. O vendedor está fazendo uma promoção: se a lâmpada durar menos de 180 horas, o cliente recebe 5 reais de volta, e se durar pelo menos 180 horas, ele ganha 2 reais. Queremos descobrir a função de probabilidade da variável aleatória Y, que representa o valor devolvido ao cliente. Para isso, vamos precisar entender a distribuição exponencial e como calcular probabilidades para intervalos específicos dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição exponencial. É uma distribuição contínua que modela o tempo entre eventos em um processo que ocorre continuamente e independentemente. A função de densidade da distribuição exponencial é dada por:
fX(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0
onde lambda é a taxa de ocorrência.

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular as probabilidades dos dois cenários da promoção:
  1. A lâmpada dura menos de 180 horas: Queremos P(X < 180).
  2. A lâmpada dura pelo menos 180 horas: Queremos P(X >= 180).
Vamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial, que é:
FX(x) = 1 - e^-lambda x

Passo 4

Calculando a probabilidade de a lâmpada durar menos de 180 horas:
P(X < 180) = FX(180) = 1 - e^-0,001 times 180 = 1 - e^-0,18
Usando uma calculadora, e^-0,18 approx 0,8353, então:
P(X < 180) approx 1 - 0,8353 = 0,1647

Passo 5

Agora, calculando a probabilidade de a lâmpada durar pelo menos 180 horas:
P(X >= 180) = 1 - P(X < 180) = e^-0,001 times 180 = e^-0,18 approx 0,8353

Passo 6

Com essas probabilidades, podemos definir a função de probabilidade da variável aleatória Y. Como Y pode assumir dois valores — 5 reais ou 2 reais — temos:
  • Y = 5 com probabilidade 0,1647
  • Y = 2 com probabilidade 0,8353

Resposta

A função de probabilidade de Y é dada por:
P(Y = 5) = 0,1647
P(Y = 2) = 0,8353

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