Considere uma roda de raio desconhecido girando em torno de um eixo fixo, iniciando um movimento rotacional uniformemente acelerado a partir do repouso. Após exatamente 1,0 segundo, o vetor da aceleração total de um ponto na borda da roda forma um ângulo de
em relação à direção do vetor velocidade linear do mesmo ponto.
Sabendo que o movimento rotacional é uniformemente acelerado e que a aceleração total do ponto combina componentes radiais e tangenciais:
(b) Justifique a relação entre os componentes radial e tangencial da aceleração que permite obter o resultado.
Dica: Lembre-se de considerar a relação entre velocidade angular, aceleração tangencial e aceleração centrípeta, e como essas contribuem para o vetor da aceleração total.
Sabendo que o movimento rotacional é uniformemente acelerado e que a aceleração total do ponto combina componentes radiais e tangenciais:
(b) Justifique a relação entre os componentes radial e tangencial da aceleração que permite obter o resultado.
Dica: Lembre-se de considerar a relação entre velocidade angular, aceleração tangencial e aceleração centrípeta, e como essas contribuem para o vetor da aceleração total.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma roda que está girando e acelerando de forma uniforme. Queremos entender como as acelerações radial (centrípeta) e tangencial se relacionam para que o vetor da aceleração total forme um ângulo de 30 graus com a velocidade linear do ponto na borda após 1 segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento rotacional, como velocidade angular, aceleração tangencial e centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um movimento rotacional com aceleração uniforme, a velocidade angular (
) aumenta de forma constante. A aceleração tangencial (
) está relacionada com a aceleração angular (
) pela fórmula:
onde
é o raio da roda.
Passo 3
A aceleração radial, também conhecida como centrípeta (
), está relacionada com a velocidade angular (
) e o raio (
) pela fórmula:
Essa aceleração aponta para o centro da roda, mantendo o ponto na trajetória circular.
Passo 4
Sabemos que a aceleração total (
) é a combinação vetorial das acelerações radial e tangencial. O ângulo (
) entre a aceleração total e a velocidade linear é dado por:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 5
Substituindo as expressões de
e
:
Os
cancelam:
Passo 6
Sabemos que a aceleração angular (
) é constante e o movimento começa do repouso. Então, após 1 segundo, a velocidade angular é:
Substituindo na equação anterior:
Passo 7
Sabemos que
. Então:
Essa é a relação que conecta a aceleração angular com o ângulo formado pela aceleração total e a velocidade linear.
Resposta
A relação entre as componentes radial e tangencial da aceleração que permite obter o resultado é
.