Considere uma roda de raio desconhecido girando em torno de um eixo fixo, iniciando um movimento rotacional uniformemente acelerado a partir do repouso. Após exatamente 1,0 segundo, o vetor da aceleração total de um ponto na borda da roda forma um ângulo de 30^circ em relação à direção do vetor velocidade linear do mesmo ponto.
Sabendo que o movimento rotacional é uniformemente acelerado e que a aceleração total do ponto combina componentes radiais e tangenciais:
(b) Justifique a relação entre os componentes radial e tangencial da aceleração que permite obter o resultado.
Dica: Lembre-se de considerar a relação entre velocidade angular, aceleração tangencial e aceleração centrípeta, e como essas contribuem para o vetor da aceleração total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma roda que está girando e acelerando de forma uniforme. Queremos entender como as acelerações radial (centrípeta) e tangencial se relacionam para que o vetor da aceleração total forme um ângulo de 30 graus com a velocidade linear do ponto na borda após 1 segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento rotacional, como velocidade angular, aceleração tangencial e centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento rotacional com aceleração uniforme, a velocidade angular ( omega) aumenta de forma constante. A aceleração tangencial ( at) está relacionada com a aceleração angular ( alpha) pela fórmula:
at = alpha cdot r
onde r é o raio da roda.

Passo 3

A aceleração radial, também conhecida como centrípeta ( ar), está relacionada com a velocidade angular ( omega) e o raio ( r) pela fórmula:
ar = omega^2 cdot r
Essa aceleração aponta para o centro da roda, mantendo o ponto na trajetória circular.

Passo 4

Sabemos que a aceleração total ( a) é a combinação vetorial das acelerações radial e tangencial. O ângulo ( theta) entre a aceleração total e a velocidade linear é dado por:
tan(theta) = arat
No nosso caso, theta = 30^circ, então temos:
tan(30^circ) = arat

Passo 5

Substituindo as expressões de ar e at:
tan(30^circ) = omega^2 cdot ralpha cdot r
Os r cancelam:
tan(30^circ) = omega^2alpha

Passo 6

Sabemos que a aceleração angular ( alpha) é constante e o movimento começa do repouso. Então, após 1 segundo, a velocidade angular é:
omega = alpha cdot t = alpha cdot 1 = alpha
Substituindo na equação anterior:
tan(30^circ) = alpha^2alpha = alpha

Passo 7

Sabemos que tan(30^circ) = raiz33. Então:
alpha = raiz33
Essa é a relação que conecta a aceleração angular com o ângulo formado pela aceleração total e a velocidade linear.

Resposta

A relação entre as componentes radial e tangencial da aceleração que permite obter o resultado é alpha = tan(30^circ) = raiz33.

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